Лекция 14 Квадратичные формы

Определение квадратичной формы. Линейное преобразование неизвестных. Ранг формы. Основная теорема о квадратичных формах. Положительно определенные формы. Критерий Сильвестра. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

14.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Определение 1.Квадратичной формой от неизвестныхназывается сумма вида

, (14.1)

или развернуто

. (14.2)

Матрица , называетсяматрицей квадратичной формы(14.1), а ее ранг – рангом формы (14.1).

Если ранг формы равен , форма называетсяневырожденной(в этом случае ранг матрицыравени матрицаневырожденная).

В (14.2) ,,, поэтому коэффициент при слагаемомможно обозначить, т.е. допустить, что.

Ввиду последнего равенства - симметрическая матрица.

Запишем квадратичную форму (14.1) в матричном виде. Пусть , тогдаи

. (14.3)

Действительно, по определению умножения матриц имеем

Далее находим

и равенство (14.3) выполняется.

Определение 2.Линейным преобразованием неизвестных называется такой переход от системы неизвестныхк системенеизвестных, при котором старые неизвестные выражаются через новые линейно с некоторыми коэффициентами:

(14.4)

Линейное преобразование (14.4) однозначно определяется матрицей из коэффициентов ,.

Систему равенств (14.4) можно записать в матричном виде

. (14.5)

Определение 3.Линейное преобразование неизвестных с матрицей называется невырожденным, если -невырожденная матрица.

Теорема 1. Пусть вслед за линейным преобразованием (14.4) с матрицей выполняется линейное преобразование с матрицей ,,. Результирующее преобразование будет линейным с матрицей .

Доказательство. По условию

(14.6)

Подставив в (14.4) выражения для ,, из (14.6), получим линейные выражения для через , т.е. результат последовательного выполнения двух линейных преобразований неизвестных является линейным преобразованием.

Далее имеем , . Таким образом, результирующее преобразование имеет матрицей.

Пример 1. Вслед за линейным преобразованием

выполняется линейное преобразование

Найти матрицу результирующего преобразования и выписать выражения через.

Решение.Имеем,, где

,.

По теореме 1 матрица результирующего преобразования

,

и, таким образом,

Утверждение 1. Для любых двух матриц А и В

.

Доказательство. Пусть

,.

Обозначим ,,, .По определению произведения матриц .

Обозначим . По определению транспонированной матрицы.

Обозначим . Элемент равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца = сумме произведений элементов -го столбца на соответствующие элементы -й строки , и приходим к равенству .

Таким образом, , т.е..

Теорема 2. Квадратичная форма от n неизвестных с матрицей после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей превращается в квадратичную форму от новых неизвестных с матрицей.

Доказательство. Пусть

(14.7)

и ,,.

В соответствии с утверждением 1 . Подставимив (14.7):

.

Матрица симметрическая, так как

.

Таким образом, преобразовалась в квадратичную форму от неизвестных с матрицей .

Докажем два вспомогательных утверждения.

Утверждение 2. Ранг произведения матриц не выше ранга сомножителей.

Доказательство. Достаточно провести доказательство для двух сомножителей.

Пусть , , , .

По определению произведения двух матриц

, , (14.8)

,

,

……………………………….

,

или

,

т.е. k-й столбец матрицы является линейной комбинацией столбцов матрицыс коэффициентамии система столбцов матрицылинейно выражается через систему столбцов матрицы, следовательно,.

По определению произведения матриц .

Аналогично, фиксируя в (14.8) и придаваязначения, получаем, что -я строка является линейной комбинацией строк матрицыи.

Утверждение 2 доказано.

Утверждение 3. Ранг произведения произвольной матрицы на невырожденную квадратную матрицу слева или справа равен рангу .

Доказательство. Пусть . В соответствии с утверждением 2 .

Умножим последнее равенство на справа: и опять воспользуемся леммой 2: . Отсюда .

Следствие из теоремы 2. Ранг квадратичной формы не изменяется при выполнении невырожденного линейного преобразования неизвестных.

Доказательство. Пусть - матрица квадратичной формы,- матрица некоторого невырожденного линейного преобразования неизвестных,- матрица квадратичной формыпосле выполнения преобразования.

По теореме 2 , а в силу утверждения 3 ().

Определение 4.Каноническим видом квадратичной формы называют сумму квадратов неизвестных с некоторыми коэффициентами.

Замечание.Число отличных от нуля коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы равно рангу формы.

В самом деле, пусть квадратичная форма

(14.9)

приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием неизвестных к каноническому виду

, (14.10)

где - новые неизвестные.

Пусть - матрица квадратичной формы (14.9),,,,- матрица квадратичной формы (14.10).

Матрица имеет следующий вид:.

Согласно следствию из теоремы 2 . Утверждение, что, означает, что в матрицена диагонали ровноэлементов отличны от нуля, тогда в каноническом виде (14.10) ровнослагаемых с коэффициентами, отличными от нуля.

Теорема 3 (основная теорема о квадратичных формах). Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду.

Доказательство. Доказательство проведем индукцией по числу неизвестных.

При имеем , т.е.- канонического вида.

Пусть утверждение теоремы справедливо для : всякую квадратичную форму от неизвестного можно привести к каноническому виду некоторым невырожденным линейным преобразованием и пусть

-

квадратичная форма от неизвестных .

Случай 1. В форме присутствует квадрат хотя бы одного неизвестного. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что(в противном случае можно заново перенумеровать неизвестные). Тогдаможно записать в виде

. (14.11)

Действительно,

,

и в первое слагаемое в (14.11) вошли все члены формы , содержащие неизвестное; для того, чтобы (14.11) было справедливо, пришлось добавить, а затем вычесть несколько слагаемых, не содержащих, поэтому в (14.11)- некоторая квадратичная форма от неизвестных.

От неизвестных перейдем кпо формулам

(14.12)

или в матричной записи: , где

.

Матрица невырожденная, так как, следовательно,и.

Невырожденное линейное преобразование неизвестных приводит формук виду

. (14.13)

Квадратичная форма - форма от-го неизвестного и по предположению индукции найдется невырожденное линейное преобразование неизвестных, приводящее ее к каноническому виду. Пусть это преобразование с матрицей,:

(- невырожденная матрица и).

Рассмотрим теперь линейное преобразование неизвестных :

(14.14)

или в матричной записи , где

.

Линейное преобразование (14.14) невырожденное, так как и приводит квадратичную форму (14.13) к виду

(14.15)

Последовательное выполнение линейных преобразований (14.12) и (14.14) является линейным преобразованием и имеет матрицей (теорема 1). Оно будет невырожденным, так как. Линейное преобразованиеприводит квадратичную формук каноническому виду (14.15).

Утверждение теоремы в случае 1 доказано.

Случай 2. Квадратичная форма не содержит ни одного квадрата неизвестного ().

Совершим невырожденное линейное преобразование, приводящее к появлению квадратов неизвестных. Пусть, например, :

. (14.16)

Положим

или

.

Линейное преобразование невырожденное, так как, оно приведет квадратичную форму (14.16) к виду

,

появились квадраты неизвестных и, свели к уже рассмотренному случаю 1. Теорема 3 полностью доказана.

Пример 2. Квадратичную форму

привести к каноническому виду посредством невырожденного линейного преобразования.

Решение.Соберем все слагаемые, содержащие неизвестное, и дополним их до полного квадрата

.

(Так как .)

Положим

(14.17)

и от неизвестных формапримет вид.

Далее положим (14.18)

и от неизвестных формапримет уже канонический вид

. (14.19)

Разрешим равенства (14.17) относительно :

Последовательное выполнение линейных преобразований и, где

,,

имеет матрицей

.

Линейное преобразование неизвестных приводит квадратичную форму к каноническому виду (14.19).