§ 4. Механическая интерпретация системы уравнений 1-го порядка – «фазовое пространство»

Учитывая важность приложений систем дифференциальных уравнений в механике и физике, будем считать независимую переменную временем, а неизвестные функции координатами- мерного пространства (это пространство обычно называютфазовым):

(12)

где _,,…, – искомые функции от; функции, ,…, – заданные, дифференцируемые.

Будем считать, что система (12) определяет в каждый момент времени в точке фазового пространствакомпоненты скоростидвижущейся точки. Задача нахождения решения системы (1) состоит в определении величин_,,…,в функции, если известно, что в момент времени=координаты имеют начальные значения,,...,. Это значит, что нужно найти функции:,...,, которые определяют для любогоположение движущейся точки, которая в начальный моментзанимала в пространстве положение,,...,.

Представляет интерес частный случай системы (12), когда её правые части не зависят от времени явно:

(13)

что значит: правые части системы (13) не изменятся, если заменить время наблюдения временем, величина – произвольное число. В этом случае система (13) описываетстационарныйпроцесс: скорость в данной точке пространства не зависит от времени!..

Общее решение системы (13) зависит от произвольных постоянных:,,...,– координат начального положения точки, траектория которой рассматривается. Пусть начальные данные заданы в виде:=0,=_,=_,…, =. Тогда ему соответствует решение:

,..., . (14)

Так как мы рассматриваем стационарное движение, то решением системы уравнений (13) будет также: ,...,, (15)

где – произвольное постоянное число. Уравнения (15) описывают ту жетраекторию, что и уравнение (14). А вот движение уже будет другим! В самом деле, в движении (14) мы имели в виду=0, и ему соответствовало начальное положение,,...,. Теперь, при значенииначальное положение (при=0) движущейся точки определяется координатами:

,..., . (16)

Точка ,,...,лежит на траектории (14), но проходится при движении по ней не в момент времени=0, а в момент=. Движение (16) можно вновь записать в форме (4), но уже с начальными данными:,,...,:

,..., . (17)

Итак, в случае стационарного движения все частицы пространства, попавшие в начальный момент на данную траекторию, движутся по ней. По аналогии с аэродинамикой (и гидравликой) выделенные траектории можно рассматривать каклинии токагаза (жидкости)!

Мы рассматриваем траектории движения точек в - мерном пространстве. Попробуем определить, скольким числом параметров такие траектории определяются в случае стационарного движения. Заменим систему уравнений (2), приняв за независимую переменную:

=, =, ... ,=, =. (18)

Система первых уравнений системы (18) определяют те же кривые, что и система (13), так как движение от времени не зависит! Но тогда, семейство кривых определяется числом параметров, причём через каждую точку выделенной области пространства проходит только одна кривая семейства! После того, как система уравнений (18) проинтегрирована, установим связь между координатами и временем. Для этого нужно проинтегрировать уравнение: , заменяя в выражениивеличины_,,…,найденными функциями отпеременной . В результате получим уравнение:=, где– постоянные, интегрирования первыхуравнений. Интегрируя его, получаем:

=. (19)

Из выражения (19) следует, что =. Это значит, что последнее уравнение системы (18) можно использовать и в виде: =≠0. Учитывая математический анализ (неявные функции), из выражения (19) можно выразить величину=. Имея выражения координат_,,…,через, получаем выражение длявсех движенийв виде:

=,. (20)

Из выражения (20) следует, что все движения точек по траектории определяются nпараметрами:

,.

Как всегда, для упрощения «образа задачи» рассмотрим примеры, в которых описание движения точки использует пространство для =1 (одно измерение).

☺☺

Пример 11–04:Исследовать движение точки, заданное уравнением:=− сила зависит от времени, положения и скорости точки.

Решение:

1). Преобразуем заданное уравнение 2-го порядка в систему уравнений:

Каждая траектория системы на фазовой плоскости показывает в любой моментположение точки (абсцисса) и её скорость (ордината). Семейство траекторий зависит от двух параметров: из каждой точкив моментвыходит одна траектория.

2). Если сила не зависит от времени, то система уравнений принимает вид:

3). Из системы уравнений , исключив переменную величину, получим уравнение первого порядка:=.

Семейство траекторий, определяемых уравнением , в этом случае зависит от одного параметра. Через каждую точку фазовой плоскости, в которой функцияопределена и где числитель и знаменатель одновременно не обращаются в нуль, проходит единственная траектория.

Ответ: результаты общего анализа могут применяться в частных задачах!

Пример 11–05:Исследовать движение точки, заданное уравнением:– сила зависит от времени, положения и скорости точки.

Решение:

1). Прежде всего, воспользуемся тем, что заданное уравнение: легко интегрируется: характеристические корни=. Построим ФСР:=,=. Составим общее решение однородного уравнения:==.

2). Можно записать: =, где=− амплитуда колебания,− начальная фаза колебания:=,=. Добавим ещё физический смысл величины− это частота колебаний материальной точки. В записи общего решения=величиныи− произвольные постоянные величины, которые определяются заданием начальных условий.

3). Преобразуем заданное уравнение 2-го порядка в систему уравнений:

4). Исключим из системы время, получим уравнение:– переменные разделились! Интегрирование даёт:

+=1,

где параметр определяет большую полуось эллипса и совпадает с амплитудой! Семейство– семействоподобных эллипсовс полуосямии.

Ответ: общее решение:=, траектория фазового пространства:+=1.

☻