180

Часть 3. Системы линейных дифференциальных уравнений

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Глава 11. Системы дифференциальных уравнений первого порядка

В инженерной практике нередко исследуют процессы, описание которых требует нескольких функций. Отыскание этих функций может привести к нескольким дифференциальным уравнениям, объединённым в систему.

§ 1. Общие сведения.

Первое знакомство с системой дифференциальных уравнений можно получить, формально преобразуя дифференциальное уравнение - порядка введением вспомогательных функций. Рассмотрим это преобразование на примере уравнения 3-го порядка, записанного в нормальной форме:=. Для удобства восприятия преобразований и конечной записи полученной системы уравнений обозначим:=. Далее запишем:

примем: получим: в общем виде:

==,=,=,

==,=,=,

==,=,=,

Представленное преобразование уравнения 3-го порядка в систему 3-х уравнений 1-го порядка интересно не только как алгебраическое упражнение: для нас важно наблюдаемое родство дифференциального уравнения - порядка с системойуравнений 1-го порядка. Далее мы увидим, что и обратный процесс: переход от системыуравнений 1-го порядка к дифференциальному уравнению- порядка может быть реализован!.. Этот факт будет использован нами как продолжение усвоенных знаний в новую область теории дифференциальных уравнений!..

В общем случае, для произвольного , систему дифференциальных уравнений 1-го порядка записывают в виде:

(1)

где _,,…, – искомые функции от; функции:, ,…, – заданные, дифференцируемые. Форма записи (1) называетсянормальной.

Как и для одного дифференциального уравнения, прежде всего, определим понятие решениясистемы уравнений (1).

Определение: (11.1)

Решением системы (1) называется всякая совокупность функций ,,…,, удовлетворяющих всем уравнениям системы.

Определение частногорешения для системы уравнений (1) удобнее не привязывать к общему решению, как это было сделано для одного уравнения- го порядка.

Определение: (11.2)

Частным решением системы (1) называется решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям: =, =,... , = при заданном значении =. (2)

Определение общегорешения для системы уравнений (1) получим, заменяя в определении частного решения заданные значения:,,...,, произвольными постоянными,,…,. При решении конкретных примеров смысл такого определения будет уточняться. В то же время будет определены правила записи общего решения для конкретных систем.

Определение: (11.3)

Общим решением системы (1) называется решение, удовлетворяющее условиям: =,=,... , =.

Как всегда, важным элементом изучения конструкций, содержащих дифференциальные уравнения, является исследование вопроса о существовании и единственности решений.

§ 2. Теорема о существовании и единственности решения системы уравнений

Как и прежде, применим теорему о существовании и единственности решения только к таким выражениям, которые представляют для нас практический интерес, а именно к системам вида (1).

Теорема: (11.1)

Если правая часть системы уравнений (1) и все её частные производные ,, …, , непрерывны в окрестности точки D=(,,,...,), то существует единственная совокупность функций ,,…,, определённая в указанной окрестности и удовлетворяющая начальным условиям: =,=,...,= при заданном значении =.

►Доказательство теоремы достаточно просто. Для нас важно то, что в математическом анализе большое внимание уделено решению задачи о непрерывности конкретной функции и вопросу вычисления производных (и этим можно оперативно пользоваться). ◄