Глава 13. Системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами
Системы линейных
неоднородных дифференциальных уравнений
1-го порядка с постоянными коэффициентами
отличаются от однородных уравнений
присутствием в правой части хотя бы
одного уравнения функции от независимой
переменной
.
Как и в случае однородных уравнений,
применение к неоднородным уравнениям
общей теоремы о существовании и
единственности решений не представляет
большого труда.
§ 1. Общие сведения.
Пусть имеем систему
линейных неоднородных дифференциальных
уравнений 1-го порядка, содержащую
уравнений:
(1)
где коэффициенты
– действительныепостоянныечисла; функции
,
,…,
– непрерывные функции переменной
,
заданы ихотя бы однаиз них не равна нулю; функции
,
,…,
– искомые функции переменной
.
Если все функции
,
,…,
– состоят из сумм и произведений функций:
–многочлен степени
;
- число
– действительное число; (2)
,
- число
– действительное число.
то поиск частногорешения проводится, как и в случае одного
уравнения
-
го порядка с постоянными коэффициентами,методом неопределённых
коэффициентов, но с некоторыми
изменениями. Если правые части уравнений
системы произвольные функции
,
,…,
,
то применяют методвариации
произвольных постоянных.
1.1. Теорема о существовании и единственности решения системы уравнений.
В Главе 11 представлена общая теорема о существовании и единственности решения для системы, имеющей нормальную форму записи. Нетрудно заметить, что для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами (1) требования теоремы выполняются!
1.2. Запись общего решения системы линейных неоднородных уравнений.
Если известно общее решение однородной системы уравнений, соответствующей системе (1) и некоторое частное решение неоднородной системы (1), то общее решение неоднородной системы записывают в виде:
=
=
+
=
+
=
∙
+
∙
+...+
∙
+
, (3)
где обозначено:
− общее решение заданной системы
уравнений (1);
− общее решение соответствующей
однородной системы и
− частное решение заданной системы
уравнений (1), соответственно. Выражение
=
+
напоминает теорему о форме записи общего
решения линейного неоднородного
уравнения
-
го порядка с постоянными коэффициентами.
Её доказательство так же просто.
§ 2. Решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью.
Для моделирования общего алгоритма решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами рассмотрим систему, содержащую только три уравнения для функций x,y,z:
(4)
где функции
,
,
– непрерывные функции переменной
,
заданы в соответствии с правилом (4) ихотя бы однаиз
них не равна нулю. Функции
,
,
– искомые решения.
Общий алгоритмрешения неоднородного уравнения:
1*.
Записываем соответствующую неоднородной
системе уравнений (4) однородную систему
(без функций
,
,
):
(5)
и находим её решение (в соответствии с представленными в Главе 12 методами).
2*.
Находим частное решение системы (4)
однородную систему, учитывая конкретный
набор функций
,
,
.
3*.
Записываем общее решение системы (4) в
виде:
=
+
. (6)
4*. Находим решение системы (4), удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Записанный алгоритм
содержит величины:
,
,
,
вычисление которых зависит и от набора
функций:
,
,
,
и от особенностей заданной системы (4).
Не станем записывать общих формул,
которые охватили бы самый общий набор
функций
,
,
и получающихся выражений для вычисления
функций:
,
,
.
Правила решения системы (4) вполне понятны
из рассмотрения конкретных Примеров!
☺☺
Пример 13–01:
Решить систему нелинейных уравнений:
Решение:
1). Найдем
характеристические корни соответствующей
однородной системы (то есть без функции
=
):
=
= 0, откуда получаем:
=–3;
=2.В этом случае общее решение однородной
системы будем искать в виде:
=
+
,
(1.1)
где
=
∙
=
∙
,
=
∙
=
∙
, (2.1)
2). Для определения
векторов
,
составим систему уравнений:
(3.1)
Для характеристического
корня
=–3
система (3.1) имеет решение:
=
.
Для корня
=2система (3.1) имеет решение:
=
.
Замечание: Решение системы (3.1) проводится по известным правилам из курса Линейная алгебра.
3). С учетом полученных
векторов
,
запишем общее решение однородной системы
дифференциальных уравнений:
=
∙
∙
+
∙
∙
. (4.1)
4). Так как функция:
=
–многочлен 1-й степени и образующее
число
=
не совпадает с характеристическими
корнями:
и
,
то частное решение заданной системы
будем искать в виде:
=
,
ее производные:
=
(5.1)
Подставляя выражения (5.1) в заданную систему уравнений, получаем систему тождеств:
(6.1)
Приравнивая коэффициенты при t0иt1, получаем систему алгебраических уравнений:
при
:
при
:
, (7.1)
откуда: a=–
,b=–
,c=–
,
d=–
.
5). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:
=
+
=
∙
∙
+
∙
∙
+
.
(8.1)
Ответ:
общее решение системы: 
=
∙
∙
+
∙
∙
+
.
Пример 13–02:
Решить систему нелинейных уравнений:
Решение:
1). Найдем
характеристические корни соответствующей
однородной системы (т.е. без функции
=
).
Запишем характеристическое уравнение:
=
=0,
откуда получаем:
=
,
=
.В этом случае общее решение однородной
системы будем искать в виде:
=
+
,
(1.2)
где
=
∙
=
∙
,
=
∙
=
∙
. (2.2)
2). Для определения
векторов
,
составим систему уравнений:
(3.2)
3). Для корня
система (3.2) имеет решение:
=
.
Тогда можно записать:
=
∙e(1–i)t=
=
. (4.2)
4). Для корня
система (3.2) имеет решение:
=
.
Аналогично получаем:
=
∙e(1+i)t=
=
. (5.2)
то есть решения
и
(согласно выражениям (4.2) и (5.2))
комплексно-сопряженные.
5). В качестве
частных решений системы уравнений берем
отдельно мнимую и действительную части.
Получаем: 
=
,
=
(6.2)
6). С учетом выражений
(6.2) запишем общее решение однородной
системы дифференциальных уравнений:
=
∙
+
∙
. (7.2)
7). Так как функция:
=
– имеет специальный вид, ее образующее
число
не совпадает с характеристическими
корнями
и
,
то частное решение заданной системы
будем искать в виде:
=
,
ее производные:
=
. (8.2)
8). Подставляя (8.2) в заданную систему, получаем систему тождеств:
откуда следует:
=–1,
=0. (9.2)
9). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:
=
+
=
∙
+
∙
∙
+
∙
=
∙
.
(10.2)
Ответ:Общее решение:
=
∙
.
Пример 13–03:
Решить систему нелинейных уравнений:
Решение:
При решении данного Примера воспользуемся теоремой о суперпозиции применения функций правой части и запишем две системы, эквивалентные данной, то есть позволяющие получить общее решение исходной системы:
образующее
число:
=
, (1a)
образующее
число:
=
, (1b)
1). Найдем
характеристические корни соответствующей
однородной системы уравнений (то есть
без функции
и 
):
=0,
откуда получаем:
=
=2
– корень кратности
=2.
В этом случае общее решение однородной
системы будем искать в виде:
,
и производные:
(2.3)
2). Подставляем
(2.3) в однородную систему уравнений для
заданной системы и получаем
тождества: 
(3.3)
3). Приравнивая в (3) коэффициенты при t0иt1, получаем систему алгебраических уравнений:
при
:
при
:
, (4.3)
откуда:
=
,
=
–
,
=
=
.
Замечание: решение системы (4.3) проводится по известным правилам из курса Линейная алгебра.
4). Итак, общее решение однородной системы уравнений получено:
(5.3)
5). Частное решение
заданной системы уравнений, учитывая
системы (1a) и (1b),
запишем в виде:
, (6.3)
6). Найдем частное
решение неоднородной системы уравнений
(1a), учитывая совпадение
числа
=
с кратным характеристическим корнем :
, (7.3)
7). Подставим в (1a) выражение (7) и его производную: получим систему тождеств:
Из тождества найдем
неопределенные коэффициенты, приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
:
при
:
при
:
(8.3)
при
:
при
:
откуда получаем:
,
=
=
,
=
=
.
Учитывая выражение (7), получим частное
решение для системы (1a):
. (9.3)
8). Найдем частное
решение неоднородной системы уравнений
(1b), учитывая, что число
=
не совпадает с характеристическим
корнем:
. (10.3)
9). Подставим в (1b) выражение (10.3) и его производную: получим систему тождеств:
откуда: a=–3,
b=–2. (11.3)
10). Учитывая выражение (10.3), получим частное решение для системы (1b):
. (12.3)
11). Учитывая (9.3) и (12.3), частное решение заданной системы уравнений принимает вид:
, (13.3)
12). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:
.
(14.3)
Замечание:
выражение (14) получено с «поглощением»
числаmконстантой
.
Ответ:Общее решение:
=
∙
.
Пример 13–04:
Решить систему нелинейных уравнений:
Решение:
1). Найдем
характеристические корни соответствующей
однородной системы уравнений (то есть
без функций
=
и
=
):
=
=0,
откуда получаем:
=–i;
=i.В этом случае общее решение однородной
системы будем искать в виде:
где
=
∙
=
∙
,
=
∙
=
∙
. (2.4)
2). Для определения
векторов
,
составим систему уравнений:
(3.4)
3). Для
=–iсистема (3.4) имеет решение:
=
.
Тогда можно записать:
=
∙
=
=
. (4.4)
4). Для
=iсистема (3.4) имеет решение:
=
.
Аналогично получаем:
=
∙
=
=
, (5.4)
то есть решения
и
(согласно выражениям (4.4) и (5.4))
комплексно-сопряженные.
5). В качестве
частных решений системы уравнений берем
отдельно мнимую и действительную части.
Получаем: 
=
,
=
. (6.4)
6). С учетом выражений
(6.4) запишем общее решение однородной
системы дифференциальных уравнений:
=
+
.
(7.4)
7). Так как функция:
=
и
=
– имеют специальный вид и общее образующее
число
,
причем совпадает с характеристическими
корнями
и
,
то частное решение заданной системы
будем искать в виде:
=
. (8.4)
8). Подставляя (8.4) в заданную систему, получаем систему тождеств:
=
=
, (9.4)
=
=
.
Приравнивая
коэффициенты при подобных членах
тождеств (9.4), получим алгебраическую
систему уравнений, решением которой
является:
=–1,
=0,
=1.Тогда выражение (8.4) можно записать в
виде:
=
(10.4)
9). Запишем общее решение заданной неоднородной системы:
=
+
=
.
(11.4)
Ответ:Общее решение:
=
.
☻