198

Глава 12. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами

Системы линейных однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами являются простейшими среди систем линейных дифференциальных уравнений. Применение к ним общей теоремы о существовании и единственности решений не представляет большого труда.

§ 1. Общие сведения.

Пусть имеем систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка:

(1)

где коэффициенты – действительныепостоянныечисла;_,,…, – искомые функции переменной. Система уравнений (1) называетсялинейной, потому что все неизвестные функции_,,…,входят в запись в 1-й степени. Так как все уравнения в правой части не содержат слагаемых, зависящих от переменной, систему называютоднородной.

1.1. Теорема о существовании и единственности решения системы уравнений.

В Главе 11 представлена общая теорема о существовании и единственности решения для системы, имеющей нормальную форму записи. Нетрудно заметить, что для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами (1) требования теоремы выполняются!

1.2. Частное решение системы линейных однородных уравнений.

В Главе 11 рассмотрен общий случай сведения системы ДУ уравнений к одному уравнению высшего порядка. Выполнение дифференцирований и подстановок линейных комбинаций правых частей уравнений системы (1) во все используемые выражения приводит к линейному уравнению - го порядка с постоянными коэффициентами относительно одной из функций . Мы видели, что решением такого уравнения является функция вида: =. Так как решения для остальных функций получают дифференцированием функции =, то конструкция сохраняется и для других функций! В то же время система (1) требует согласованного участия всех функций _,,…, в каждом из уравнений системы (1). В таком случае нетрудно догадаться, что решение системы (1) нужно искать в виде:

, , … ,, (2)

причем коэффициенты ,и число – будут определяться из условия, что выражения (2) удовлетворяют системе (1). Подставим выражения (2) для функций_,,…,в систему (1).

(3)

Так как , каждое из получившихся уравнений системы можно разделить на общий множитель. В результате получим систему линейных однородных алгебраических уравнений:

(4)

относительно ,с определителем:

. (5)

Уравнение =0 называетсяхарактеристическимдля системы уравнений (1), его корни –характеристическими корнямисистемы (1).

Если , система уравнений (4) имеет только нулевые решения:=0,и записи (2) дадут только тривиальные решения:=0,. Практического интереса это решение не представляет!

Пусть =0. Это условие означают, что существует система чисел, не все из которых равны нулю, такая, что система функций (2) может быть найдена.

Дальнейшее использование полученных характеристических корней зависит от их вида. Многочлен имееткорней. Среди них могут быть: 1) действительные, различные; 2) комплексно-сопряжённые, различные; 3) среди корней есть кратные. Ниже рассматриваются все названные случаи, анализируется участие корней в построении фундаментальной системы решений (ФСР) для заданной линейной однородной системы (1), а также общее и частное решения системы (1).