§ 3. Исследование устойчивости методом функций Ляпунова.

Как было замечено, рассмотренный в § 2 метод исследования на устойчивость не всегда отвечает на поставленный вопрос. А.М. Ляпунов предложил другой метод: составить некоторую специальную функцию (функцию Ляпунова) от аргументов и по её свойствам делать вывод об устойчивости решения.

☺☺

Пример 14–12: Исследовать на устойчивость систему:

Решение:

1). Найдем характеристические корни полученной однородной системы дифференциальных уравнений: ==0, откуда получаем:=–1<0,=–2<0.

2). Следует: тривиальное решение устойчиво.

3). Рассмотрим функцию: =. Эта функция положительна при любых значениях , обращается в нуль только в точке (0,0). В пространстве уравнение = определяет параболоид с вершиной в начале координат. Линии уровней – эллипсы (одна из них выделена на рис. 1 красным цветом). На плоскости показаны круг – радиуса (охватывает эллипс), круг – радиуса (внутри эллипса). Точка = – начальная точка: лежит внутри круга .

4). Составим функцию: =+, или, учитывая заданную систему ДУ, можно записать: =+, где в выражениях и вместо символов необходимо использовать функции-решения: и . Видим, что функция есть полная производная функции по вдоль траектории решения системы: = . Если ≤0, то любая траектория не сможет покинуть круга . А это значит, что тривиальное решение устойчиво. Если же >0, то решение неустойчиво.

5). Но метод рассчитан на системы общего вида, для которой найти зависимости: и не удаётся. В таком случае требуют, чтобы функция ≤0, хотя бы в некоторой окрестности (0,0). В этом случае условие ≤0 проверяют по левым частям заданной системы.

6). Посмотрим, как применяется замечание предыдущего пункта. В рассматриваемом примере имеем: = всюду на плоскости , а значит, вдоль любой траектория. В этом случае устойчивость тривиального решения гарантирована: решение можно не находить!

Ответ: тривиальное решение системы устойчиво.

☻

Замечание: 1). Используемая в Примере 14–12 функция и есть функция Ляпунова: её главное свойство быть положительной всюду, кроме точки (0,0)!

2). Главное свойство функции быть полной производной от функции по вдоль траектории решения, и быть неположительной. Тогда имеем признак устойчивости тривиального решения системы.

Ниже представлены некоторые определения и теоремы (без доказательства!), которые подтверждают правомерность выводов, полученных в Примере 14–12.

Определение: (14.4)

Функция называется положительно определённой в области , если ≥0 в области, причём =0 только в точке (0,0).

Для понимания основной теоремы об устойчивости, предложенной Ляпуновым, воспользуемся следующей Леммой (без доказательства!):

Лемма: (14.1)

Пусть функция – положительно определённая в области . Тогда для всех ≥ найдётся такое, что≥. Верно и обратное.

Ниже представлена основная теорема об устойчивости, предложенная Ляпуновым (без доказательства!):

Теорема: (14.3)

Пусть в области существует непрерывная вместе с частными производными первого порядка положительно определённая функция такая, что функция: =+ ≤0 для >0 и . Тогда тривиальное решение системы (1) устойчиво.

Замечание: Рисунок иллюстрирует факт, что произвольная траектория-решение не выйдет из области круга , если начальная точка принадлежит кругу .

Так как ранее было введено понятие «асимптотической устойчивости», то целесообразно представить теорему об асимптотической устойчивости решения (без доказательства!):

Теорема: (14.4)

Пусть дополнительно к условиям, указанным в Теореме 14.4, для >0 и (x,y) выполняется неравенство: ≤ –, где функция – положительно определённая области . Тогда тривиальное решение системы (1) асимптотически устойчиво.

В рассмотренном ранее Примере 14–12имеет место не только устойчивость, но и асимптотическая устойчивость. Легко заметить, что функция –не зависит от переменнойи является положительно определённой функцией. Но этот пример не позволяетоценить достоинствапредставленных теорем, так как и устойчивость, и асимптотическая устойчивость следуют из отрицательности характеристических корней системы!

Приведём пример, когда теорема об устойчивости по первому приближению неприменима, а функция Ляпунова даёт ответ на вопрос об устойчивости системы!

☺☺

Пример 14–13: Исследовать на устойчивость систему:

Решение:

1). Построим функцию: =. Эта функция положительна при любых значениях , обращается в нуль только в точке (0,0). В пространстве (x,y,z) уравнение = определяет параболоид с вершиной в начале координат. Линии уровней – эллипсы (одна из них выделена на рис. 1 красным цветом). На плоскости показаны круг – радиуса (охватывает эллипс), круг – радиуса (внутри эллипса). Точка = – начальная точка: лежит внутри круга .

2). Составим функцию: =+. Учитывая заданную систему дифференциальных уравнений: =+==.

3). Согласно Теореме 14-4 тривиальное решение системы устойчиво!

Ответ: тривиальное решение системы устойчиво.

Замечание: исследование устойчивости по первому приближению в этом случае ответа не даёт: характеристические корни чисто мнимые.

☻

Вполне оправданным будет рассмотреть простейший вариант теоремы для случаев неустойчивости (без доказательства):

Теорема: (14.5)

Пусть в области существует непрерывная вместе с частными производными первого порядка положительно определённая функция такая, что: 1) для любого >0 найдётся>0 такое, что в некоторой подобласти – окрестности (круг ) выполняется неравенство ≥; 2) для любого >0 найдётся >0 такое, что из неравенства ≥ следует неравенство ≥ для ≥0. Тогда тривиальное решение системы (1) неустойчиво.

Для иллюстрации теоремы воспользуемся представленным ниже Примером:

☺☺

Пример 14–14: Исследовать на устойчивость систему:

Решение:

1). Построим функцию:=. На рисунке гипербола = выделяет область в – окрестности в круг . Обозначим эту область как: .

2). Составим функцию: =. Очевидно, в области верно: → ≥. В силу Леммы, найдётся >0 такое, что и, следовательно, ≥. По теореме 14-5 заключаем: тривиальное решение неустойчиво! Теорема 14-2 о неустойчивости по первому приближению в этом случае не работает, так как получаемая система будет иметь характеристическую матрицу, содержащую одни только нули!

Ответ: тривиальное решение системы неустойчиво.

☻

Замечания: 1). Изложенные методы исследования устойчивости решений системы с применением функций Ляпунова в общем случае имеют существенный недостаток: нет общих правил построения этих функций. Ценно то, что для некоторых важных классов систем ДУ стандартные правила существуют!

2). Для линейных систем с постоянными коэффициентами использование функции Ляпунова позволяет доказать теорему об устойчивости решения.

3). Для ДУ, описывающих некоторые механические системы, роль функций Ляпунова играет потенциальная энергия: если потенциальная энергия в стационарной точке достигает минимума, то положение равновесия устойчиво!