§ 2. Исследование устойчивости по первому приближению

Теперь, для придания общности используемым алгебраическим выражениям, не теряя их компактности, рассмотрим систему 3-х дифференциальных уравнений 1-го порядка:

(3)

где функции ,,имеют непрерывные производные по переменным, причём вдоль тривиального решения:≡0, ≡0, ≡0 эти производные постоянны, то есть:=,=,=,

=,=,=,(4)

=,=,=,

где коэффициенты – действительные числа (постоянные). В сделанных предположениях для функций:,,можем воспользоваться разложением в ряд Тейлора:

=+,

=+,(5)

=+,

где ,,– бесконечно малые порядка выше первого в окрестности точки:. Перепишем систему(3), применяя выражения (5):

(6)

Замечание: Так как системы (3) и (6) эквивалентны, то решение вопросов устойчивости для них одинаково: если решение устойчиво для (3), то оно устойчиво и для (6)!

Теперь введём в систему уравнений «неточность»: отбросим бесконечно малые φ₁,φ₂,φ₃и заменим систему(6) системой:(7)

Систему (7) называют системой первого приближениядля нелинейной системы дифференциальных уравнений (3).

Замечание: До Ляпунова при исследовании вопроса об устойчивости ограничивались в основном изучением устойчивости в первом приближении, считая, что полученный результат можно отнести и к исходной, нелинейной, системе. Ляпунов показал, что в общем случае это неверно, в то же время он дал ряд примеров нелинейных систем, для которых вопрос об устойчивости решается до конца по первому приближению!

Запишем без доказательства теоремы, которые наглядно показывают, как используются определённые в выражениях (3)-(7) величины.

Теорема: (14.1)

Если: 1) корни характеристического уравнения системы (5) имеют отрицательную действительную часть, и для функций выполняется условие: 2) , , – постоянная величина, , то тривиальное решение системы уравнений (4) устойчиво.

Замечание: Очевидно, что если тривиальное решение устойчиво для системы (6), то оно устойчиво и для системы (7), причём асимптотически. В таком случае имеем: если тривиальное решение однородной системы (7) устойчиво, то оно устойчиво асимптотически!

Так же наглядно применение теоремы, определяющей достаточные условия неустойчивости решений системы:

Теорема: (14.2)

Если: 1) хотя бы один корень характеристического уравнения системы (5) имеет положительную действительную часть, и для функций выполняется условие: 2) , , –постоянная величина, , то тривиальное решение системы уравнений (4) неустойчиво.

Если у нескольких характеристических корней, не являющихся кратными, действительные части равны нулю, а у остальных отрицательные, то движение будет устойчивым, но не асимптотически. Если среди корней имеются кратные, то устойчивости, в общем случае, не будет, даже если у остальных вещественная часть отрицательна!

Использование результатов теорем становится особенно наглядным, если применить классификацию точек покоя по тому, как «ведут себя траектории возмущённого движения» в окрестности этих точек. Для изображения траекторий движения на плоскости в окрестности точки покоя воспользуемся системой дифференциальных уравнений:

→ (8)

при начальных условиях: =0,=0.

В соответствии с теоремами об устойчивости решений имеем аналитическая характеристика точек покоя:

▪ если ни один из корней k₁,k₂характеристического уравнения не лежит справа от мнимой оси, причем хотя бы один корень отличен от нуля, то решениеустойчиво;

▪ если же хотя бы один корень лежит слева от мнимой оси или оба корня равны нулю, то решение неустойчиво.

На рисунках, представленных в таблице 1, легко видим геометрические характеристики точек покоя:

▪ если точка покоя устойчива, то при небольших отклонениях от нее с течением времени движущаяся точка возвратится в точку покоя;

▪ если точка покоя неустойчива, то при небольших отклонениях от нее с течением времени движущаяся точка удалится от точки покоя как угодно далеко.

В таблице 1 представлен случай, когда характеристические корни системы ДУ действительны и различны, определена устойчивость системы решений и название точки покоя в соответствии с принятой классификацией.

Таблица 1

Корни , – действительные: ≠	Характер точки покоя	Устойчивость точки покоя
< 0, < 0. Устойчивый узел		Асимптотически устойчива.
> 0, > 0. Неустойчивый узел		Неустойчива.
> 0, < 0. Седло		Неустойчива.

В таблице 2 представлен случай, когда характеристические корни системы ДУ комплексные (сопряжённые), определена устойчивость системы решений и название точки покоя в соответствии с принятой классификацией.

Таблица 2

Корни = - комплексные	Характер точки покоя	Устойчивость точки покоя
< 0, ≠ 0. . Устойчивый фокус		Асимптотически устойчива.
> 0, ≠ 0. Неустойчивый фокус		Неустойчива.
= 0, ≠ 0. Седло		Устойчива.

В таблице 3 представлен случай, когда характеристические корни системы ДУ действительные кратные, определена устойчивость системы решений и название точки покоя в соответствии с принятой классификацией. Так как для создания «зрительного образа» мы рассматриваем только системы ДУ 2-го порядка, то кратность комплексных корней не рассматриваем.

Таблица 3

Корни = – действительные: кратные	Характер точки покоя	Устойчивость точки покоя
==<0. Устойчивый узел		Асимптотически устойчива.
==>0. Неустойчивый узел		Неустойчива.

Рассмотрим несколько Примеров исследования устойчивости, начав с линейных систем вида (7), которые могли бы быть результатомлинеаризациинекоторой нелинейной системы дифференциальных уравнений вида (3).

☺☺

Пример 14–01: Исследовать на устойчивость нулевое решение системы ДУ:

Решение:

1). Найдем характеристические корни заданной однородной системы дифференциальных уравнений: ==0, откуда получаем:=<0.

2). Так как характеристические корни вещественные и отрицательны, то система асимптотически устойчива: устойчивый узел.

Ответ: система асимптотически устойчива: устойчивый узел.

Пример 14–02: Исследовать на устойчивость нулевое решение системы ДУ:

Решение:

1). Найдем характеристические корни заданной однородной системы дифференциальных уравнений: ==0, откуда получаем:==.

2). Так как < 0, ≠ 0, то система асимптотически устойчива: устойчивый фокус.

Ответ: система асимптотически устойчива: устойчивый фокус.

Пример 14–03: Исследовать на устойчивость нулевое решение системы ДУ:

Решение:

1). Найдем характеристические корни заданной однородной системы дифференциальных уравнений: ∆(k)==0, откуда получаем:==.

2). Так как =0, ≠ 0, то система устойчива: центр.

Ответ: система устойчива: центр.

Пример 14–04: Исследовать на устойчивость нулевое решение системы ДУ:

Решение:

1). Найдем характеристические корни заданной однородной системы дифференциальных уравнений: ∆(k)==0, откуда получаем:==1.

2). Так как > 0, > 0, то система неустойчива: неустойчивый узел.

Ответ: система неустойчива: неустойчивый узел.

Пример 14–05: Исследовать на устойчивость нулевое решение системы ДУ:

Решение:

1). Найдем характеристические корни заданной однородной системы дифференциальных уравнений: ∆(k)==0, откуда получаем:=0,=5.

2). Так как =0, > 0, то система неустойчива: неустойчивый узел.

Ответ: система неустойчива: неустойчивый узел.

Пример 14–06: Исследовать на устойчивость нулевое решение системы ДУ:

Решение:

1). Найдем характеристические корни заданной однородной системы дифференциальных уравнений: ==0, откуда получаем:=1,=3.

2). Так как k₁, k₂ > 0, то система неустойчива: неустойчивый узел.

Ответ: система неустойчива: неустойчивый узел.

Пример 14–07: Исследовать на устойчивость нулевое решение системы ДУ:

Решение:

1). Найдем характеристические корни заданной однородной системы дифференциальных уравнений: ==0, откуда получаем:=–1,=1.

2). Так как k₁< 0, k₂ > 0, то система неустойчива: седло.

Ответ: система неустойчива: седло.

Пример 14–08: Исследовать на устойчивость по первому приближению нулевого решения системы дифференциальных уравнений:

Решение:

1). Воспользуемся разложениями (из задачника): ,. Так как условие теоремы:выполняется, то оценку устойчивости решений можно уценивать на основании линеаризованной системы уравнений:

2). Найдем характеристические корни полученной однородной системы дифференциальных уравнений: ==0, откуда получаем:=.

3). Так как < 0, то система устойчива: устойчивый фокус.

Ответ: система устойчива: устойчивый фокус.

Пример 14–09: Исследовать на устойчивость первому приближению нулевого решения системы дифференциальных уравнений:

Решение:

1). Воспользуемся разложением (из задачника): . Так как условие теоремы выполняется:|, то оценку устойчивости решений можно уценивать на основании линеаризованной системы уравнений:

2). Найдем характеристические корни полученной однородной системы дифференциальных уравнений: ==0, откуда получаем:

3). Так как < 0, > 0, то система неустойчива: седло.

Ответ: система неустойчива: седло.

Пример 14–10: Исследовать на устойчивость первому приближению нулевого решения системы дифференциальных уравнений:

Решение:

1). Воспользуемся разложениями (из задачника): ,. Так как условие теоремы:выполняется, то оценку устойчивости решений можно уценивать на основании линеаризованной системы уравнений:

2). Найдем характеристические корни полученной однородной системы дифференциальных уравнений: ==0, откуда получаем:=.

3). Так как < 0, то система устойчива: устойчивый фокус.

Ответ: система устойчива: устойчивый фокус.

Пример 14–11: Исследовать на устойчивость первому приближению нулевого решения системы дифференциальных уравнений:

Решение:

1). Воспользуемся разложениями: ,,,. Тогда запишем:,,,. Причём выполняется условие:. В таком случае оценку устойчивости решений можно уценивать на основании линеаризованной системы уравнений:

2). Найдем характеристические корни полученной однородной системы дифференциальных уравнений: ==0, откуда получаем:=.

3). Рассмотрим поведение системы в зависимости от значений параметра:

▪ при a< –8 корни вещественные, < 0, > 0 → неустойчивость;

▪ при a= –8 корни вещественные, = –6, = 0 → вопрос об устойчивости не решается с помощью имеющихся теорем: необходимо применение других средств;

▪ при –8< a ≤ 1 корни вещественные отрицательные → асимптотическая устойчивость;

▪ при a > 1 корни комплексные, причём = –3< 0 → асимптотическая устойчивость.

Ответ: устойчивость системы зависит от значений параметра .

☻