228

Глава 14. Элементы теории устойчивости

При рассмотрении вопросов теории устойчивости учтём, что дифференциальное уравнение - го порядка, а также произвольная система уравнений могут быть сведены к системе уравнений 1-го порядка. Также учтём, что в большинстве случаев не удаётся получить решение системы уравнений (соответственно уравнения- го порядка), выраженное через элементарные функции или квадратуры. Это может существенно затруднить анализ всего множества определяемых заданной системой решений.

На практике чаще требуется исследовать процесс (движение) для определённых начальных условий, причём не количественно: значения функций-решений при конкретном значении аргумента, акачественно: характерповедения этих функций. Этими вопросами занимается специальный раздел теории дифференциальных уравнений – теория устойчивости.

§ 1. Общие сведения. Постановка задачи.

Для придания компактности алгебраическим выражениям, используемым при рассмотрении основных понятий теории устойчивости, воспользуемся системой двух ДУ:

, и начальные условия: =,=,(1)

где функции ,и их производные по переменным– непрерывны в некоторой области.

Пусть и– решения этой системы, удовлетворяющие заданным начальным условиям (1). Будем интерпретировать решенияи, как координаты движущейся точки, а, как время,– конечное число. Тогда будем называть частное решение:,невозмущённым. Пусть начальные условияслегка изменились:=,=, причём;. В этом случае частное решение:,будем называтьвозмущённым.

В соответствии с теоремой о непрерывности решений задачи Коши, принятые к функциям ,требования обеспечивают непрерывность,по переменнымв точке, если. Обозначим отклонения по переменным величинами:и.

Пусть выполняются требования: и. Если при этом величиныи, то функции,непрерывны по переменнымв точке, если.

Нередко возникает вопрос: насколько будут различаться решения (то есть интегральные кривые): и, соответственнои, если допустить?

Определение: (14.1)

Решение системы (1) называют устойчивым, если: 1) ; для любых , при условии , и . 2) Если 1) невозможно при выполнении указанного условия, то решение системы называют неустойчивым.

Из определения следует: устойчивость невозмущённого движения геометрически означает, что в любой момент времени точка траектории возмущённого движения находится в достаточно малой окрестности соответствующей точки невозмущённого движения.

При исследовании устойчивости конкретного частного решения часто используют для функций заданной системы замену:

x=+, y =+, (2)

что позволяет рассматривать невозмущённое движение (t)≡0,(t)≡0 при начальных условиях:=0,=0. В этом случае говорят, что невозмущённое движение естьточка покоя. В таком случае задача исследования устойчивости решения сводится к задаче исследования устойчивоститривиального решения:(t)≡0,(t)≡0. Определение устойчивости теперь можно интерпретировать таким образом: траектория возмущённого движения при стремлениине выходит из– окрестности точки покоя.

Среди устойчивых решений может встретиться такое, что все близкие к нему в начальный момент решения не только не удаляются с течением времени, но бесконечно приближаются к нему. К таким случаям применим определение:

Определение: (14.2)

Решение системы (1) называют асимптотически устойчивым, если: 1) решение системы устойчиво; 2) при , имеем: =0,=0.

Для тривиального решения возмущённое движение запишем в виде: ,. Тогда для асимптотической устойчивости тривиального решения применим определение:

Определение: (14.3)

Тривиальное решение системы (1) называют асимптотически устойчивым, если: 1) решение системы устойчиво; 2) при , имеем: =0; =0.

Замечание: Понятие устойчивости было введено русским математиком А.М. Ляпуновым (1857-1918). Он же разработал основы методов исследования на устойчивость.

Для практического применения нас будут интересовать качественныекритерии устойчивости по Ляпунову, особенно для тех случаев, когда мы, не умеем интегрировать систему (1). Как мы видели, можно ограничиться изучением методов исследования на устойчивость только тривиального решения!