
- •Глава 5. Кривые и поверхности второго порядка §1 . Эллипс, гипербола и парабола Эллипс
- •Уравнение эллипса в канонической системы координат
- •Гипербола
- •Уравнение гиперболы в канонической системе координат
- •П арабола
- •§ 2. Приведение к каноническому виду уравнения кривой второго порядка
- •§ 3. Полярная, сферическая и цилиндрическая системы координат
- •§ 4. Поверхности
- •Коническая поверхность
- •Цилиндрическая поверхность
- •Поверхность вращения
- •§ 5. Поверхности второго порядка
- •Задачи для самостоятельного решения
§ 2. Приведение к каноническому виду уравнения кривой второго порядка
Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид
причем
предполагается, что среди чисел
есть хотя бы одно ненулевое.
Существует система координат (называемая канонической), в которой уравнение кривой второго порядка имеет вид, приведенный в таблице (канонический вид).
|
эллипс |
|
гипербола |
|
парабола |
|
мнимый эллипс (эта “кривая” не имеет действительных точек) |
|
на действительной плоскости “кривая” имеет лишь одну точку |
|
две пересекающиеся прямые |
|
две параллельные прямые |
|
две совпадающие прямые |
|
две мнимые параллельные прямые (“кривая” не имеет ни одной действительной точки) |
Задача 1. Изобразить кривую, найти ее характеристики:
Р
и по
Следовательно, данная кривая является
эллипсом. Его центр:
Полуоси:
Для нахождения координат фокусов находим
параметр
(половину расстояния между фокусами):
Отсюда получаем фокусы:
Эксцентриситет:
Задача 2.
Составить
уравнение гиперболы с асимптотами
касающейся оси
Р
имеют вид
Следовательно, центр гиперболы имеет
координаты
и
Нарисуем гиперболу, учитывая, что она
касается оси абсцисс.
Из
рисунка видно, что
Так как
то
Так как действительная ось гиперболы
параллельна оси
то в правой части уравнения будет
вместо
Отсюда получаем уравнение:
Задача 3.
Найти площадь
области, ограниченной кривой
Решение.
В случае, когда коэффициенты при
и
равны друг другу, то поворотом системы
координат на угол в
можно избавиться от произведения
в уравнении кривой. Напишем формулы
поворота на угол
(здесь
– координаты точки в исходной системе
координат, а
– координаты той же точки в системе
координат, повернутой на угол
.
При
получаем прямые и обратные формулы:
Подставим обратные формулы в уравнение кривой:
Следовательно,
.
Отсюда
)
Рис.
5.30и
(его полуоси). Далее строим отрезок
(рис. 5.34) и фокусы
эллипса.
Задача 4. Установить, что уравнение
определяет эллипс, найти его центр и полуоси.
Решение. Преобразуем это уравнение:
,
или
,
или
.
Положим
и уравнение примет вид
Это уравнение эллипса с полуосями
и
.
Задача
5.
Установить, что уравнение
определяет гиперболу, найти ее центр и
полуоси.
Подберём
угол
,
после поворота на который уравнение
кривой не будет содержать произведения
переменных
и
.
Подставим формулы поворота в заданное
уравнение
,
которое лучше переписать в виде
:
,
,
.
Найдём
такой угол
,
чтобы в последнем уравнении не содержалось
слагаемое
.
Достаточно положить,
,
то есть
,
.
Тогда преобразование примет вид
-
поворот против часовой стрелки вокруг
точки
,
а уравнение кривой (5.28) в новой системе
координат:
-
это уравнение гиперболы с полуосями
и
центром в точке
(рис. 5.16).