Физика, элементарные определения и формулы / 2_Динамика
.pdf2. Динамика
Первый закон Ньютона постулирует существование особого класса систем отсчета. В этих системах отсчета свободное тело сохраняет состояние покоя или прямолинейного движения. Системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона, называются инерциальными. Особое значение инерциальных систем отсчета состоит в том, что в этих системах механические явления описываются наиболее просто.
Второй закон Ньютона (уравнение движения тела):
maG = F , |
(1) |
где m – масса тела, aG – его ускорение, F – сумма сил, действующих на тело. Третий закон Ньютона: при взаимодействии двух тел сила, действующая со
стороны первого тела на второе, равна по величине и противоположна по направлению силе, действующей со стороны второго тела на первое; эти силы направлены вдоль прямой, соединяющей точки их приложения, т.е.
FG12 = −FG21 . |
(2) |
Сила упругости: |
|
Fупр = kx , |
(3) |
где k – жесткость пружины (упругого стержня, шнура), x – изменение длины. Сила упругости направлена противоположно изменению длины.
Сила трения скольжения:
Fтр = μN , |
(4) |
где μ – коэффициент трения, N – нормальная составляющая силы реакции опоры. Такой же вид имеет формула для максимального значения силы трения покоя (при котором возникает проскальзывание).
Вес тела – сила, с которой тело вследствие его притяжения к Земле действует на опору (или подвес), неподвижную относительно данного тела.
Закон всемирного тяготения:
F = G mM |
, |
(5) |
r 2 |
|
|
где m и M – массы взаимодействующих тел, r – расстояние между телами, G = 6,67·10-11 Н·м2/кг2 – постоянная всемирного тяготения.
Ускорение свободного падения на поверхности планеты и на высоте h:
g =G |
M |
, |
g(h ) =G |
M |
, |
(6) |
|
R2 |
(R +h )2 |
||||||
|
|
|
|
|
где R – радиус планеты.
Уравнение движения и скорость спутника на круговой орбите радиуса r = R +h :
m |
v2 |
=G |
mM |
, |
v = |
GM |
= |
gR2 |
. |
(7) |
|
r |
r 2 |
R +h |
R +h |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Первая космическая скорость (h = 0):
vI = |
GM |
= gR . |
(8) |
|
R |
|
|
При движении тела по окружности второй закон Ньютона в проекции на ось x, направленную от тела к центру окружности, имеет вид
m v2 = Fx . R
Вопросы для самоконтроля
1. Система отсчета связана с лифтом. В каких из приведенных ниже случаев ее можно считать инерциальной? Выберите правильные варианты ответа и объясните
свой выбор. |
|
А) |
лифт свободно падает; |
Б) |
лифт движется равномерно вверх; |
В) |
лифт движется замедленно вниз; |
Г) |
лифт стоит на месте. |
2. Масса некоторой планеты в 9 раз больше массы Земли. Каков радиус этой планеты, если ускорение свободного падения на ее поверхности такое же, как на
Земле? |
|
|
|
|
|
|
|
А) |
9 RЗ; |
Б) |
3 RЗ; |
В) |
RЗ; |
Г) |
2 RЗ. |
3. На вал с насаженным на него колесом диаметром 20 см действует относительно оси вращающий момент 8 Н·м. С какой минимальной силой должна быть прижата тормозная колодка к ободу вращающегося колеса, чтобы колесо остановилось? Коэффициент трения равен 0,8.
А) |
10 Н; |
Б) |
50 Н; |
В) |
80 Н; |
Г) |
100 Н. |
|
4. |
На тело действуют две силы F1 = 6 Н и F2 = 8 Н. Угол между ними α = 90˚. |
|||||||
Чему равно ускорение тела, если масса его m = 2 кг? |
|
|
||||||
|
А) |
10 м/с2; |
Б) |
3 м/с2; |
В) |
4 м/с2; |
Г) |
5 м/с2. |
5. |
Вес тела массой 1 кг, |
находящегося в лифте, поднимающемся вертикально |
||||||
вверх с ускорением 1 м/с2, равен |
|
|
|
|
||||
|
А) |
11 Н; |
Б) |
10 Н; |
В) |
9 Н; |
Г) |
2 Н. |
6. |
Если трос, привязанный к грузу массой 10 кг, потянуть вертикально вверх с |
|||||||
силой 200 Н, то на высоте 20 м груз окажется через |
|
|
|
|||||
|
А) |
4 с; |
Б) |
10 с; |
В) |
20 с; |
Г) |
2 с. |
7. |
Если тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, то |
|||||||
равнодействующая всех сил, действующих на тело, |
|
|
|
|||||
|
А) |
равна нулю; |
|
|
|
|
|
|
|
Б) постоянна и направлена перпендикулярно плоскости окружности; |
|||||||
|
В) постоянна по модулю и направлена к центру окружности; |
|
||||||
|
Г) постоянна по модулю и направлена от центра окружности; |
|
||||||
|
Д) постоянна по модулю и совпадает с направлением скорости. |
|||||||
8. |
К пружине длиной 10 см, коэффициент жесткости которой 500 Н/м, |
|||||||
подвесили груз массой 2 кг. Какой стала длина пружины? |
|
|
||||||
А) |
12 см; |
Б) |
13 см; |
В) |
14 см; |
Г) |
15 см. |
|
9. |
Спиральная пружина имеет жесткость k. Пружину разрезали пополам. |
|||||||
Жесткость половины пружины |
|
|
|
|
||||
|
А) |
больше k; |
Б) |
равна k; |
В) |
меньше k. |
|
|
10. Если на тело, лежащее на наклонной плоскости, надавить перпендикулярно плоскости, то сила трения между телом и плоскостью
А) увеличится; Б) уменьшится; В) не изменится;
Г) станет равной нулю; Д) изменит направление.
Примеры решения задач
Пример 1. Чему равно ускорение g свободного падения на поверхности планеты, масса которой в n = 3 раза больше массы Земли, а радиус в m = 2 раза больше радиуса Земли?
Решение. Воспользуемся формулой (6). По условию задачи
M = nM 3, |
R = mRЗ , |
|
|
|||||
где MЗ – масса Земли, RЗ – ее радиус. |
Следовательно, |
|
|
|||||
g = γ |
nMЗ |
|
= γ |
|
3MЗ |
= 3 g |
З |
. |
|
|
4RЗ2 |
||||||
m2RЗ2 |
|
|
4 |
|
||||
Здесь g З – ускорение свободного падения на поверхности Земли. Таким образом,
g ≈ 7,4 м/c2.
Пример 2. С помощью троса можно равноускоренно поднимать груз массой m1 = 160 кг или с таким же по величине ускорением опускать груз массой m2 = 640 кг. Найдите величину T силы натяжения троса, если она в обоих случаях одинакова. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
Решение. В соответствии со вторым законом Ньютона в проекции на вертикальное направление для каждого из рассматриваемых случаев имеем
m1a = T - m1g,
m2a = m2g - T.
Отсюда окончательно
T = 2m1m2 g = 2560 Н. m1 +m2
Пример 3. Брусок 1 массой m1 находится на гладкой горизонтальной плоскости. На бруске лежит тело 2 массой m2. Коэффициент трения между телом и бруском μ. При какой величине F силы, приложенной к бруску в горизонтальном направлении, тело начнет скользить по бруску? Ускорение свободного падения g .
Решение. Рассмотрим ситуацию «на |
y |
|
|
|
N |
|
|
|
a |
||
грани проскальзывания»: тело |
и брусок |
|
|
|
m2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Fтр |
||||||
еще движутся как одно целое, |
но сила |
|
|
|
|
|
|||||
|
x Fтр |
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
F |
|||||
трения покоя между ними уже достигла |
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
m2g |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
своего максимального значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Fтр = μN . |
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
Удобно начать рассмотрение с тела, поскольку оно движется только под действием силы трения. Запишем второй закон Ньютона в проекции на оси выбранной системы координат (см. рисунок):
m2a = Fтр , |
0 = N −m2g . |
(2) |
Из (1) и (2) получаем Fтр = µm2g, откуда a = µg. Именно при этом ускорении системы тело начнет скользить по бруску. Для определения силы F можно записать второй закон Ньютона для бруска (надо учесть, что на брусок со стороны тела действует сила трения, направленная «назад» и равная, в соответствии с третьим законом Ньютона, µm2g). Но проще записать второй закон Ньютона для всей системы:
F = (m1 +m2 )a = μ(m1 +m2 )g .
Пример 4. К санкам массой m = (10 3 +1) кг, покоящимся на горизонтальной плоскости, приложили силу F , составляющую с горизонтом угол α = 300 . Вычислите минимальную величину этой силы, достаточную для начала движения санок. Коэффициент трения скольжения μ = 0,1. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
Решение. Величина приложенной к санкам силы будет минимальна, если
движение санок равномерное. Учитывая это, |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
запишем уравнение движения санок: |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
G |
G |
G |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
F |
+mg |
+ Fтр + N = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
G |
|
|
Fтр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь F |
– |
сила |
трения, |
N – нормальная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
составляющая реакции опоры. В соответствии |
|
|
|
|
|
mg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
с законом Амонтона-Кулона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 2
Fтр = μN . (1)
Записывая проекции уравнения движения на оси координат, получим
F cos α − Fтр = 0 , |
|
F sin α + N −mg = 0 . |
(2) |
Из (1) и (2) находим величину силы F :
μmg |
|
F = cos α + μsin α |
=20 Н. |
Пример 5. Угол наклона плоскости доски к горизонту α = 300. На доску положили кирпич массой m = 2 кг. Коэффициент трения скольжения кирпича по доске μ = 0,8. Найдите величину Fтр силы трения, действующей на кирпич.
Ускорение свободного падения g = 10 м/с2. |
|
|
|
|
|
|
y |
||
Решение. |
Исходя из |
соображений удобства, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
N |
|
|
x |
||||||
выберем систему координат так, как показано на |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Fmp |
|
|||||
рисунке. Изобразим все силы, действующие на |
|
|
|
|
|
|
|
||
кирпич. Прежде всего выясним, движется ли кирпич |
α |
α |
|
||||||
по наклонной |
плоскости. |
Если движется, то для |
|
|
|
|
|||
|
|
|
нахождения силы трения скольжения |
mg |
|
|
|
|
|
Рис. 3 |
|
можно воспользоваться законом Амонтона – Кулона: |
|
Fтр = μN . |
(1) |
Если же кирпич не движется, то на него действует сила трения покоя. Предположим, что кирпич движется вдоль наклонной плоскости с ускорением
aG . Запишем второй закон Ньютона в проекции на оси выбранной системы координат:
ma = mg sin α − Fтр , |
|
0 = N −mg cos α. |
(2) |
Здесь учтено, что ax = a , ay = 0 . Из |
(2) определяем модуль нормальной |
составляющей реакции опоры: N = mg cos α. Тогда Fтр = μmgcosα ≈ 13,6 Н. С
другой стороны, сила, которая вызывает движение кирпича по наклонной плоскости, – это составляющая силы тяжести F вдоль оси Ox (вдоль поверхности соприкосновения тела и наклонной плоскости). Модуль этой составляющей равен F =mg sinα = 9,8H.
Следовательно, F < Fтр. Это означает, что предположение о движении кирпича было неверным. Кирпич покоится относительно наклонной плоскости, и на него действует сила трения покоя, равная по модулю составляющей силы тяжести вдоль оси Ox , то есть Fтр = F =mg sinα = 9,8H. Направление силы трения покоя показано на рисунке. Найденная сила трения приложена к кирпичу. Заметим, что по третьему закону Ньютона такая же по модулю, но противоположная по направлению, сила трения покоя действует на наклонную плоскость, и приложена она к наклонной плоскости.
Пример 6. Груз на нити описывает в горизонтальной плоскости окружность радиусом R = 10 см. Частота обращения груза n = 1 об/с. Какой угол α образует нить с вертикалью? Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с2.
Решение. Уравнение движения груза в проекциях на горизонтальную (направленную к центру окружности) и вертикальную оси имеет вид
T sin α = 4π2mn2R ,
T cos α −mg = 0 ,
где m – масса груза, T – сила натяжения нити. Исключая из этих уравнений силу натяжения нити, получаем
tgα = 4π2n2R . g
Врезультате имеем α = arctg 4π2n2R ≈0,4.
g
y
T 
α h
R x
mg
Рис. 4
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Тело массой m = 6 кг, начавшее двигаться под действием постоянной силы, прошло за 1-ю секунду путь s= 15 м. Определите величину силы F.
Ответ: F = 2tms2 180 Н.
Задача 2. Лифт опускается с ускорением a = g, направленным вертикально вниз. С какой силой FG давит на пол лифта находящийся в нем человек массы m?
Ответ: F = 0 .
Задача 3. Брусок соскользнул без трения из состояния покоя с наклонной плоскости длиной l = 2 м, угол наклона которой к горизонту α = 300. Какова величина v скорости бруска в нижней точке плоскости? Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
О т в е т: v = 2gl sin α ≈ 4,5 м/с.
Задача 4. Шайба, брошенная вдоль наклонной плоскости, скользит по ней, двигаясь вверх, а затем возвращается к месту броска. Наклонная плоскость составляет с горизонтом угол α. Коэффициент трения скольжения между шайбой и плоскостью равен μ. Чему равно ускорение шайбы при движении: а)
вверх по наклонной плоскости, б) вниз по наклонной плоскости?
О т в е т: а) a = (sin α+μcosα)g ; б) a = (sin α−μcosα)g .
Задача 5. Найдите ускорение свободного падения gM вблизи поверхности планеты Марс. Масса Марса M = 6,4 1023 кг, его радиус R = 3390 км,
гравитационная постоянная G = 6,67 10-11 Н м2/кг2.
|
G M |
2 |
Ответ: gМ = |
R2 |
= 3,8 м/с . |
Задача 6. Гоночный автомобиль разгоняется в горизонтальном направлении с ускорением по величине равным 3 g /4. Какова величина F результирующей силы, с
которой гонщик массой m = 70 кг действует при этом на кресло? Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
Ответ: F = 54 mg = 875 Н.
Задача 7. На некотором участке прямолинейной горизонтальной траектории движение автомобиля описывается уравнением
x = 2 t + 0,49 t2 ,
где x выражено в метрах, t - в секундах. Определите силу тяги F, действующую на автомобиль, если сила сопротивления составляет 0,01 веса автомобиля, а его масса равна 3000 кг. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с2.
О т в е т: F = m (a + 0,01 g ) ≈ 3230 Н.
Задача 8. На первоначально покоящееся на шероховатой горизонтальной плоскости тело массой m = 2 кг действует в течение τ = 3 с горизонтальная сила F = 10 Н. Какой путь s пройдет тело за все время движения до остановки? Коэффициент трения скольжения μ = 0,2, ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
Ответ: s = |
1 F |
|
F |
|
|
2 |
≈ 34 м. |
|
|
|
|
|
−1 |
τ |
|
||
2 m |
μm g |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 9. К санкам массой m = (10 
3 +1) кг, покоящимся на горизонтальной плоскости, приложили силу F , составляющую с горизонтом угол α = 300 . Вычислите минимальную величину этой силы, достаточную для начала движения санок. Коэффициент трения скольжения μ = 0,1. Ускорение свободного падения g
= 10 м/с2.
Ответ: F = μ mg = 20 H. cos α + μsin α
Задача 10. По наклонной плоскости длиной L = 0,5 м и высотой H = 0,1 м с помощью динамометра, расположенного параллельно плоскости, сначала равномерно втащили вверх, а затем равномерно стащили вниз брусок массой m = 2
кг. Найдите F - величину разности показаний динамометра. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
О т в е т: F = 2m g HL = 8 Н.