Физика, элементарные определения и формулы / 1_Кинематика
.pdf
1. Кинематика
Кинематика представляет собой раздел механики, в котором изучается движение тел без исследования причин, вызывающих это движение и определяющих тот или иной его характер. Такой подход позволяет выявить особенности различных вариантов механического движения и рассмотреть их физические закономерности.
Координата и перемещение при равномерном движении по прямой зависят от времени по закону
x = x0 +vxt , sx = x − x0 =vxt , |
(1) |
где x0 – начальная координата точки.
Закон сложения скоростей (для поступательного движения системы отсчета):
vG |
=vG |
+vG . |
(2) |
1 |
12 |
2 |
|
Здесь vG1 – скорость первого тела (например, относительно земли), vG12 – скорость первого тела относительно второго тела (подвижной системы отсчета), v2 –
скорость второго тела (относительно земли). Аналогичный вид имеют закон сложения перемещений (sG1 = sG12 +sG2 ) и закон сложения ускорений (aG1 = aG12 +aG2 ). Формулу (2) в виде
vG12 =vG1 −vG2
называют формулой для относительной скорости двух тел.
Средняя скорость при неравномерном движении по прямой определяется выражением
v = s |
, |
(3) |
t |
|
|
где s – путь, пройденный телом за время t.
Скорость и перемещение при равноускоренном движении по прямой зависят от времени по закону
vx =v0x +axt , |
(4) |
sx =v0xt + axt2 |
, |
(5) |
2 |
|
|
где v0x – начальная скорость. Связь между скоростью и перемещением дается следующими формулами:
sx |
= |
|
vx2 −v02x |
, |
(6) |
|
|
|
|||||
|
|
|
2ax |
|
||
sx |
= |
v0x +vx |
t . |
(7) |
||
|
||||||
|
2 |
|
|
|
||
Скорость и перемещение тела при свободном падении (v 0 = 0 ) зависят от времени по закону
v |
y |
= gt , s = gt2 . |
(8) |
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь ось y направлена вертикально вниз, ay = g . Время падения тела с высоты H и
его конечная скорость могут быть найдены следующим образом:
t = |
2H |
, v = 2gH . |
(9) |
|
g |
||||
|
|
|
При движении тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v0 ,
скорость и перемещение определяются выражениями
v |
y |
=v |
0 |
− gt , s =v t − gt2 |
(10) |
||||
|
|
|
y |
0 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ось y направлена вертикально вверх, v0y |
=v0 , ay |
= −g ). Время подъема до высшей |
|||||||
точки (где v0y = 0 ) и максимальная высота подъема: |
|||||||||
t |
|
= |
v0 |
|
, h = v02 . |
|
|
(11) |
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
g |
|
|
2g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Полное время полета (до возврата в точку броска) может быть найдено по формуле
t |
2 |
= 2t = 2v0 . |
(12) |
|
|
1 |
g |
|
|
|
|
|
|
|
В случае горизонтального броска с высоты H со скоростью v0 проекции скорости и перемещения на оси координат (ось x направлена горизонтально, ось y – вертикально вверх) зависят от времени по закону
v |
=v |
0 |
, |
sx =v0t, |
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
|
(13) |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
vy = −gt, |
s = H − gt |
. |
|||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Модуль скорости и угол наклона вектора скорости к горизонту определяются выражениями
v = vx2 +vy2 |
= vo2 +(gt)2 , |
(14) |
||||
tgβ = |
vy |
= − |
gt |
. |
(15) |
|
vx |
v0 |
|||||
|
|
|
|
|||
Время полета до падения на землю и горизонтальная дальность полета:
t = |
2H |
, |
l =v0 |
2H . |
(16) |
|
g |
|
|
g |
|
При движении тела, брошенного под углом α к горизонту с начальной скоростью v0, проекции скорости и перемещения на оси координат (ось x направлена горизонтально, ось y – вертикально вверх) зависят от времени по закону
v |
x |
=v |
0 |
cos α, |
sx |
=v0 cos α t, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin α t − gt |
2 |
|
vy |
=v0 sin α − gt, |
s |
=v |
|
. |
||||||
0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Время подъема до высшей точки (vy = 0 ) и максимальная высота:
t |
= v0 sin α , h = |
(v0 sin α)2 |
2g . |
(18) |
|
||||
1 |
g |
|
|
|
|
|
|
||
Полное время и горизонтальная дальность полета:
t |
2 |
= 2t |
= |
2v0 sin α |
, |
l =v t |
2 |
= v02 sin 2α . |
(19) |
|
|||||||||
|
1 |
|
g |
x |
g |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
При равномерном движении по окружности с угловой скоростью ω угол поворота и число оборотов определяются выражениями
ϕ = ωt , N = |
ϕ |
= νt , |
(20) |
|
2π |
||||
|
|
|
где ν – частота вращения ( ν = ω/2π). Период вращения:
T = |
1 |
= |
2π . |
(21) |
|
ν |
|
ω |
|
Связь между угловыми и линейными величинами:
l = ϕR , v = ωR . |
(22) |
Здесь l – длина дуги, R – радиус окружности. Центростремительное ускорение:
|
v2 |
2 |
|
a = |
R = ω R . |
(23) |
|
Вопросы для самоконтроля
1. Два автомобиля движутся по прямому шоссе: первый – со скоростью v ,
второй – |
со скоростью |
−2vG. Какова скорость второго автомобиля относительно |
|||||
первого? |
|
|
|
|
|
|
|
А) |
v ; |
Б) |
−2v ; |
В) |
−3v ; |
Г) |
−v . |
2. Поезд прошел первую половину пути со скоростью 20 м/с, а вторую половину пути – со скоростью в 4 раза меньшей. Средняя скорость поезда на всем
пути равна |
|
|
|
|
А) |
8 м/с; Б) |
10 м/с; В) |
12 м/с; Г) |
14 м/с. |
3. Поезд, трогаясь с места, движется равноускоренно. За вторую секунду он проходит расстояние 30 см. Какое расстояние поезд пройдет за четвертую секунду?
А) 50 см; Б) 70 см; В) 90 см; Г) 110 см.
4. Камень свободно падает с нулевой начальной скоростью. Последние 5 м он пролетает за 1 секунду. Какова скорость камня в момент удара о землю?
А) 5 м/с; Б) 15 м/с; В) 10 м/с; Г) 20 м/с.
5. Если тело, свободно падающее без начальной скорости, пролетело мимо точки А со скоростью vA , то мимо точки В, находящейся на расстоянии h ниже точки А, оно пролетит со скоростью, равной
А) vA +2 gh ; Б) vА2 −2gh ; В) vА2 + gh ; Г) vА2 +2gh .
6. Мяч брошен вертикально вверх из точки, находящейся на высоте h. Если известно, что за время движения мяч пролетел путь 3h, то модуль его начальной
скорости равен |
|
|
|
|
|
|
|
А) |
2 gh ; |
Б) |
2gh ; |
В) |
4 gh ; |
Г) |
2 2gh . |
7. Тело брошено горизонтально с высоты h = 20 м. Если траектория его движения описывается уравнением y = 20 −0,05x2 , то максимальная дальность
полета тела в горизонтальном направлении равна |
|
|
|
||||
А) |
40 м; |
Б) |
30 м; |
В) |
20 м; |
Г) |
10 м. |
8. Камень, брошенный |
под углом |
30˚ к |
горизонту, |
находился в полете |
|||
2секунды. Какова величина скорости, с которой камень упал на землю? |
|||||||
А) |
10 м/с; |
Б) |
20 м/с; |
В) |
15 м/с; |
Г) |
5 м/с. |
9. Пони бегает по кругу радиуса 10 м со скоростью 5 м/с. Какова его угловая
скорость? |
|
|
|
|
|
|
|
А) |
0,5 рад/с; |
Б) |
5 рад/с; |
В) |
2 рад/с; |
Г) |
2,5 рад/с. |
10. |
Две материальные точки движутся по окружностям радиусами R1 и R2, |
||||||
причем |
R1 = 2R2 . |
При равенстве линейных |
скоростей |
точек |
отношение их |
||
центростремительных ускорений a1 /a2 |
равно |
|
|
|
|||
А) |
2; |
Б) |
4; |
В) |
1/2; |
Г) |
1/4. |
Примеры решения задач
Пример 1. За третью секунду равноускоренного движения с начальной скоростью равной нулю тело проходит s3 = 20 м. Найдите длину L пути за первые T = 5 с движения.
Р е ш е н и е. Из графика зависимости модуля скорости тела от времени (рис. 1) видно, что пути, проходимые за 1-ую, 2-ую…5-ую секунды, относятся как 1:3:5:7:9. Следовательно,
s |
|
= 5s = 5 |
aτ2 |
, |
(24) |
3 |
|
||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
0 |
3τ |
6τ |
t |
Рис. 1
где s1 – путь, пройденный за 1-ую секунду, a – ускорение тела, τ = 1 с. Путь, пройденный за время T,
L = aT2 2 ,
или, с учетом (24),
L = s3T 2 = 100 м.
5τ2
Пример 2. Эскалатор поднимает неподвижно стоящего на нем пассажира в течение t1 = 1 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за t2 = 3 мин. Сколько времени t3 будет подниматься идущий вверх пассажир по движущемуся вверх эскалатору?
Р е ш е н и е. Пусть l – длина эскалатора, V – его скорость, u – скорость
пассажира относительно эскалатора. Тогда V = |
l |
, u = |
l |
. Идущий вверх пассажир |
|||||||||||
t |
t |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
будет |
|
подниматься |
по |
движущемуся вверх |
|
эскалатору в течение времени |
|||||||||
t3 = |
|
l |
|
= |
|
l |
= |
t1t2 |
=45 с. |
|
|
|
|
|
|
V |
+u |
l /t1 +l /t2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
t1 +t2 |
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 3. Рассеянный человек, идя вверх по поднимающемуся эскалатору, насчитал N1 = 40 ступенек. Вспомнив, что внизу на платформе остался чемодан, он решил спуститься вниз по тому же эскалатору. В этот раз, двигаясь с такой же относительно эскалатора скоростью, он насчитал N2 = 120 ступенек. Сколько ступенек насчитал бы человек, идя по неподвижному эскалатору?
Р е ш е н и е. Пусть N – число ступенек эскалатора, l – длина одной ступеньки, V – скорость человека относительно эскалатора, u – скорость эскалатора
относительно Земли. Тогда при своем движении вверх за время t1 человек проходит относительно Земли расстояние
(V −u)t1 = Nl , |
(24) |
а относительно эскалатора – расстояние
Vt1 = N1l . |
(25) |
Запишем аналогичные уравнения для случая спуска по тому же эскалатору в течение времени t2:
(V +u)t2 = Nl , |
|
(26) |
|
Vt2 = N2l . |
|
(27) |
|
Решая систему уравнений (24) – (27), находим |
|||
N = |
2N1N2 |
= 60 . |
|
N1 + N2 |
|||
|
|
||
Пример 4. Тело брошено под углом α = 300 к горизонту с начальной скоростью
V0 = 10 м/с. Найдите величину V скорости тела через τ = 1 с после начала движения и угол α между вектором V и горизонтом. Ускорение свободного падения g =
10м/с2.
Ре ш е н и е. При описании движения тела, брошенного под углом к горизонту, удобно ось x прямоугольной системы координат направить горизонтально, ось y – вертикально вверх, начало координат поместить в точку бросания. Тогда при t = 0 компоненты скорости вдоль координатных осей могут быть записаны в виде
V0x =V0 cos α, V0y =V0 sin α. |
(28) |
При отсутствии сопротивления воздуха
ax = 0 , ay = −g . |
(29) |
Зависимость проекций скорости на оси координат от времени с учетом (28) и (29) принимает вид
Vx =V0 cos α,
Vy =V0 sin α − gt . |
(30) |
Величина скорости тела в любой момент времени может быть найдена по формуле
V = Vx2 +Vy2 .
Подставляя в это выражение равенства (30), для величины скорости тела через время τ после начала движения получим
V = V02 −2V0 sin αgτ + g2τ2 = 10 м/с.
Угол между вектором скорости и горизонтом определяется соотношением
|
tgβ = Vx |
= V0 sin α − gτ |
= tgα − |
gτ |
= − |
1 |
. |
|
V0 cos α |
3 |
|||||
|
Vy |
V0 cos α |
|
|
|
||
В результате β = − |
π . |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
Пример 5. Из одной точки одновременно бросают два тела - одно горизонтально, другое вертикально вверх с одинаковыми по величине скоростями V0. На каком расстоянии s друг от друга окажутся тела через время t?
Р е ш е н и е. Задачу удобно решать в системе отсчета, связанной с одним из тел, поскольку в данном случае относительное движение тел является равномерным (см. замечание к задаче 4). В системе отсчета, связанной с первым телом, второе тело движется равномерно и прямолинейно со скоростью
V21 =VG02 −VG01 ,
где VG01 и VG02 – начальные скорости первого и второго тел соответственно.
Следовательно, расстояние между телами зависит от времени по закону
s = V21 t ,
причем модуль относительной скорости в случае прямого угла между начальными скоростями определяется выражением
G
V21 = V012 +V022 = 2V0 .
Окончательно имеем s = 2V0t . Заметим, что величина относительной скорости зависит не от направления скоростей V01 и V02 , а от угла между ними. Если,
например, бросить тела с теми же по модулю скоростями, но под углами 30° и 120° к горизонту (в одной вертикальной плоскости), то ответ будет тот же.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Первую половину пути человек шел со скоростью v1 = 5 км/ч, а вторую – бежал со скоростью v2 = 10 км/ч. Определите среднюю скорость человека на всем пути.
Ответ: v = |
2v1v2 |
≈6,7 км/ч. |
||
|
||||
|
v |
+v |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
Задача 2. Закон движения материальной точки имеет вид x = 3t + 5t2 (x, t – в единицах СИ). Определите модуль перемещения точки за вторую секунду
движения.
Ответ: sG =18 м.
Задача 3. Поезд длиной l = 90 м движется равноускоренно из состояния покоя. Головная часть поезда проходит мимо стрелочника, находящегося на расстоянии s = 130 м от точки начала ее движения, со скоростью v1 = 25 м/с. Какова скорость
v2 |
поезда, в |
|
тот |
момент, |
когда мимо стрелочника проходит |
хвостовая часть |
|||
поезда? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т: v |
|
= v |
1 + |
l |
|
≈ 32,5 м/с. |
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
s |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Задача 4. Тело, движущееся по прямой равноускоренно с начальной скоростью |
||||||||
v0 |
= 1 м/с, достигает, пройдя некоторый путь, скорости v1 = |
7 м/с. Найдите |
|||||||
скорость v тела в тот момент, когда оно прошло половину этого пути. |
|||||||||
|
О т в е т: v |
|
= |
v2 |
+v2 |
|
|
||
|
|
0 |
1 = 5 м/с. |
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Задача 5. Тело свободно падает с нулевой начальной скоростью с высоты h = 160 м. Разделите эту высоту на две части такие, чтобы на прохождение каждой из них потребовалось одно и то же время.
Ответ: s1 = |
1 h = 40 м; |
s2 = |
3 h = 120 м. |
|
4 |
|
4 |
Задача 6. Под каким углом α к горизонту нужно бросить камень, чтобы отношение максимальной высоты подъема камня к дальности его полета составило
n = 3 /4 ?
Ответ: α = arctg(4n) = 60D .
Задача7. Из одной точки одновременно бросают два тела - одно горизонтально, другое вертикально вверх с одинаковыми по величине скоростями v0 . На каком расстоянии s друг от друга окажутся тела через время t?
О т в е т: s = 2v0t .
Задача 8. Часовая стрелка короче минутной в 1,5 раза. Во сколько n раз линейная скорость конца минутной стрелки больше линейной скорости конца часовой стрелки?
Ответ: n = 18.
Задача 9. Определите модуль и направление ускорения aG человека, сидящего на равномерно вращающейся карусели на расстоянии r = 5 м от ее оси. Карусель совершает один оборот за T = 20 с.
Ответ: a = 2π 2 r ≈ 0,5 м/с2; ускорение направлено к оси вращения.
T
Задача 10. Воздушный шар поднимается с поверхности Земли. Скорость его подъема постоянна и равна v0 = 5 м/с. Благодаря ветру шар приобретает горизонтальную компоненту скорости, которая пропорциональна в каждый момент времени высоте шара над поверхностью Земли. Коэффициент пропорциональности k = 0,2 с-1. На какое расстояние l переместится шар по горизонтали, когда он достигнет высоты H = 100 м?
О т в е т: l = k H 2 = 200 м.
2v0