Физика, элементарные определения и формулы / 4_Молекулярная физика и термодинамика

Найдем зависимость температуры от объема, воспользовавшись уравнением состояния идеального газа:

Из симметрии параболы следует, что объем Vm, при котором достигается

Определив из системы (1) постоянные a и b, и подставив их в выражение (2), получим окончательно:

Пример 11. Два одинаковых баллона соединены тонкой трубкой и заполнены идеальным газом при температуре T = 297 К. Температуру одного из баллонов увеличили на T1 = 33 К. На сколько T2 надо уменьшить температуру другого баллона, чтобы давление в баллонах не изменилось?

Р е ш е н и е. Пусть p - давление газа, V - объем каждого баллона, 2ν - число молей газа. Тогда уравнение начального состояния газов для каждого из баллонов имеет вид:

11

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Сколько молекул содержится в 1 см3 воды? Какова масса молекулы воды?

О т в е т: n = 3,3 1022 см–3; m0 ≈ 2,99 10-26 кг.

Задача 2. За 10 суток из стакана испарилось 100г воды. Сколько в среднем вылетало молекул с поверхности воды за 1с?

О т в е т: 4 1018 молекул.

12

Задача 4. Оценить среднюю квадратичную скорость движения молекул газа,

если масса газа m = 6 кг, и он занимает объем V = 5 м3 при давлении р = 2 105 Па.

Задача 5. Во сколько раз изменится средняя квадратичная скорость молекул идеального газа при изобарном увеличении объема в n = 4 раза?

О т в е т: v2кв/v1кв = n ≈ 2.

Задача 6. Определить импульс атома аргона (μ = 0,040 кг/моль) при температуре газа t = 27°С, считая скорость атомов равной их средней квадратичной скорости при данной температуре.

О т в е т: p = 3Rμ(273 +t)/ N A ≈ 2,9 10−23 кг м/с.

Задача 7. Гелий находится в сосуде при температуре T = 310 К. При этом средняя квадратичная скорость его атомов vкв = 1400 м/с. Определить массу m0 атома гелия.

О т в е т: m0 = 3RT / v2квN A ≈ 6,6 10−27 кг.

Задача 8. Какое количество N молекул идеального газа должно находиться в объеме V = 1 м3, чтобы при температуре t = 27°С давление газа на стенки сосуда равнялись p = 1 Па?

О т в е т: N = pV / kT ≈ 2,4 1020.

Задача 9. Баллон содержит газ при температуре t1 = 27°С и давлении p1 = 4 105 Па. Каково будет давление p2, если из баллона выпустить половину массы газа, а температуру понизить до t2 = 12°C?

13

О т в е т: p2 = p1T2 / 2T1 =1,9 105 Па.

Задача 10. До какой температуры нужно нагреть воздух, взятый при t1 = 20°С, чтобы его объемудвоился, еслидавление останется постоянным?

О т в е т: t2 =(273+t1)n −273 =313 С.

Задача 11. Баллон содержит газ при температуре T1 = 270 К. После того как баллон внесли в помещение с температурой T2 = 300К и газ нагрелся,

присоединенный к баллону манометр показал увеличение давления на p = 2 105 Па.

Определить первоначальное давление p1 газа.

увеличить объем газа, чтобы давление стало равным первоначальному?

О т в е т: δ =100% (t2 −t1 )/(273 +t2 ) = 50% .

Задача 13. При сжатии идеального газа в количестве ν = 3 моля его объем

Задача 15. Сколько молекул воздуха выходит из комнаты объемом V = 120 м3

при повышении температуры от t1 = 15°С до t2 = 25°С ?

Атмосферное давление р0 = 105 Па. Число Авогадро NA = 6 1023 моль–1.

14

О т в е т: N = p0V (T2 −T1 )N A / RT1T2 ≈1025.

Задача 16. Из баллона со сжатым водородом объемом V = 10 л вытекает газ.

При температуре t1 = 7°С манометр показывал давление р1 = 5 106 Па. Через некоторое время при t2 = 17°С манометр показал такое же давление. Найти массу водорода m, вытекшего из баллона.

О т в е т: m = p1Vμ(1/ T1 −1/ T2 )/ R ≈1,5 г.

конечная Т2 = 360 К.

в конечном состоянии, если его давление стало равным p2 =1,5 105 Па. О т в е т: ρ2 = ρp2 / p =1,5 кг/м3.

Задача 19. Воду массы m = 1 кг разложили на кислород и водород. Какой объем V занимает эта смесь газов при температуре Т = 300 К и давлении p = 105 Па.

О т в е т: V = 3mRT / 2μp ≈ 2,1 м3.

Задача 20. С помощью компрессора воздух нагнетают в баллон объемом V = 45 л. При этом каждую секунду захватывается объем V1 = 3 л воздуха при атмосферном давлении. Какое время t понадобится, чтобы давление в баллоне в n = 9 раз превысило атмосферное? Процесс считать изотермическим, начальное давление в баллоне равно атмосферному.

О т в е т: t =Vt1 (n −1) /V1 = 2 мин. Здесь t1 = 1 с.

Задача 21. Груз какой массы М сможет поднять воздушный шар объемом

V = 100 м3, наполненный водородом (μ1 = 2 г/моль), если масса оболочки шара

15

m = 10 кг, а давление и температура водорода внутри шара и воздуха снаружи одинаковы и равны соответственно р = 105 Па и Т = 300 К? Молярную массу воздуха принять равной μ2 = 29 г/моль. Силой Архимеда, действующей на груз, и объемом оболочки шара пренебречь.

О т в е т: M = pV (μ2 −μ1 )/ RT − m ≈ 98 кг.

Задача 22. Сколько ходов n должен сделать поршень насоса, чтобы повысить давление в некотором резервуаре объемом V = 1 м3 в m = 5 раз. За один ход поршня захватывается V1 = 2 л воздуха. Начальное давление в резервуаре и давление наружного воздуха одинаковы. Процесс сжатия происходит при постоянной температуре.

температур воздух нагрели до температуры t =127 C . Определить установившееся давление p воздуха в баллонах.

Определить молярную массу μ1 газа в первом баллоне. Молярная масса водорода μ2 = 2 г/моль.

О т в е т: μ1 = μ2m1 p2T1 m2 p1T2 = 28 г/моль.

Задача 25. Теплоизолирующий поршень делит горизонтальный сосуд длиной L = 1,2 м на две равные части, содержащие идеальный газ при температуре

16

t1 =17 C . На какое расстояние L сместится поршень, если газ в одной части сосуда нагреть до температуры t2 =37 C , а в другой части температуру газа оставить прежней?

О т в е т: L = L(t2 −t1)2(T1 +T2 ) = 2 см.

которой молекулы водорода практически распадаются на атомы. Определить давление p2 газа при температуре T2. Изменением объема при нагревании пренебречь.

О т в е т: p2 = 2 p1T2 T1 = 4 104 Па.

Задача 27. Камера объемом V = 300 м3 заполнена смесью азота и кислорода. Количества молекул азота и кислорода в смеси одинаковы. Определить массу m газов в камере. Молярные массы азота и кислорода равны соответственно μ1 = 28 г/моль и μ2 = 32 г/моль.

О т в е т: m = pV (μ1 +μ2 )2RT ≈ 394 кг.

17

Основы термодинамики

Термодинамика – это наука о закономерностях превращения тепла в работу. В частности, термодинамика накладывает определённые ограничения на работу тепловых двигателей.

Внутренняя энергия U макроскопического тела – это полная энергия тела за вычетом кинетической энергии тела как целого и потенциальной энергии тела во внешних полях. Внутренняя энергия идеального газа состоит из кинетической энергии молекул и атомов, совершающих хаотическое тепловое движение, а также вращательной и колебательной энергии атомов, совершающих такие движения внутри молекул.

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа даётся соотношением:

U = 23 mμ RT = 23 pV .

Для многоатомных молекул внутренняя энергия будет больше, поскольку она должна включать ещё вклад вращательной и колебательной энергии атомов. Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа при изменении температуры на величину Т равно:

U = 23 mμ R T .

Работа газа при постоянном давлении при изменении объема от V1 до V2:

А= р(V2 - V1)

Вболее общем случае работу, совершаемую газом при его расширении, можно вычислить как площадь под кривой от объёма V =V1 до объёма V =V2 на графике

зависимости p(V).

Первый закон термодинамики (другими словами первое начало термодинамики) можно сформулировать следующим образом:

Количество теплоты Q, сообщаемое системе, идёт на увеличение внутренней энергии системы U и на совершениеработыА системы над внешнимителами:

Q = U + A .

18

Если некоторый процесс с идеальным газом происходит при постоянной температуре (изотермически), то изменение внутренней энергии системы равно нулю ( U=0).

Если некоторый процесс с идеальным газом происходит при постоянном объёме (изохорически), то работа, совершенная газом, равна нулю.

Если внекотором процессе ксистемене подводится и от неё неотводится тепло, то такой процесс называется адиабатическим.

Количество теплоты, необходимое для нагревания вещества массы m от температуры t1 до t2:

Q = cm (t2 – t1).

Здесь с - удельная теплоемкость вещества.

Количество теплоты, необходимое для превращения жидкости массы m при температуре кипения в пар:

Qn = rm.

Здесь r - удельная теплота парообразования.

Количество теплоты, необходимое для превращения кристаллического вещества массы m в жидкость при температуре плавления:

Qпл = λm.

Здесь λ - удельная теплота плавления.

Тепловая машина – это устройство, осуществляемое превращение тепла в работу. Тепловая машина состоит из нагревателя, холодильника и рабочего тела (чаще всего это газ), которое сначала получает от нагревателя тепло Q1, затем совершает полезную работу А и, наконец, отдаёт холодильнику тепло Q2

Коэффициент полезного действия тепловой машины (КПД) определяется как:

η= A 100% = Q1 −Q2 100% .

Q1 Q1

Максимальное значение КПД тепловых двигателей бывает у идеальных тепловых машин. Величина такого КПД даётся соотношением:

ηmax = T1 −T2 100%.

T1

19

Здесь Т1 - температура нагревателя, а Т2 - температура холодильника. Тепловое расширение стержня определятся соотношением:

l = l0 (1+ α T ).

Здесь l0 - длина тела при температуре Т=Т0 = 273 К (t0 = 0°C); а l - длина тела при конечной температуре Т , причём Т = Т – Т0; α - коэффициент линейного расширения.

Объем тела при его нагревании изменяется аналогично изменению длины:

V =V0 (1+β T ).

Здесь β ≈ 3α - коэффициент объемного расширения.

Относительная влажность воздуха даётся соотношением:

ϕ= p 100 % . pн

Давление водяного пара в воздухе при данной температуре p и соответствующая плотность водяного пара ρ определяют абсолютную влажность воздуха. Величина pн – это давление насыщенного пара при той же температуре. Поскольку давление пропорционально плотности газа, то относительную влажность воздуха можно также записать как:

ϕ= ρ 100 % .

ρн

Здесь ρн - плотность насыщенного пара при той же температуре. Если над жидкостью существует насыщенный пар, то между жидкостью и паром имеет место динамическое равновесие: количество молекул, испаряющихся в единицу времени с единицы поверхности жидкости, строго равно количеству конденсирующихся молекул.

Вопросы для самоконтроля

1.Сформулируйте определение внутренней энергии.

2.Что называют количеством теплоты ?

3.Как можно изменить внутреннюю энергию системы ?

4.Как рассчитывается величина работы, совершаемая газом?

20