Занятие 10. Линейные операции с матрицами: умножение на число и сложение матриц. Произведение матриц. Вырожденные матрицы. Определитель произведения квадратных матриц.

☺ ☻ ☺

Пример 10–1: Вычислить сумму матриц: , .

Решение:

1). Так как матрицы и имеют одинаковую размерность, то операция сложения заданных матриц выполнима.

2). Вычислим: =+=+==.

Ответ: =.

Пример 10–2: Заданы матрицы: =,=. Вычислить линейную комбинацию матриц .

Решение:

1). Так как матрицы и имеют одинаковую размерность, то операция выполнима.

2). По определению умножения матрицы на число: 3=; 2=.

2). Применим правило сложения матриц: =.

Ответ: =.

Пример 10–3: Вычислить произведение матриц: C=AB=.

Решение:

В таблице представлена схема вычисления произведения матриц A и B:

▫ для вычисления столбца-1 матрицы C над матрицей A размещаем первый столбец матрицы B;

▫ для вычисления столбца-2 матрицы C над матрицей A размещаем второй столбец матрицы B.

Столбец	3	2	Столбец	Столбец	4	5	Столбец
	3	-2	5		3	-2	2
	5	-4	7		5	-4	0

Использование технологического шаблона в виде таблицы позволит отработать алгоритм вычисления произведения матриц и защитить от ошибок в вычислениях. Проследим вычисление столбца-1 матрицы C: =, =.

Ответ: C=.

Пример 10–4: Вычислить произведение матриц: C=AB=.

Решение:

В таблице представлена схема вычисления произведения матриц A и B:

▫ для вычисления столбца-1 матрицы C над A матрицей размещаем первый столбец матрицы B;

▫ для вычисления столбца-2 матрицы C над матрицей A размещаем второй столбец матрицы B;

▫ для вычисления столбца-3 матрицы C над матрицей A размещаем третий столбец матрицы B;

Столбец	2	1	1	Столбец	Столбец	5	2	3	Столбец	Столбец	6	5	2	Столбец
	1	-3	2	1		1	-3	2	5		1	-3	2	-5
	3	-4	1	3		3	-4	1	10		3	-4	1	0
	2	-5	3	2		2	-5	3	9		2	-5	3	-7

Из таблицы видим ответ. Проследим вычисление столбца-1 матрицы C:

=, =, =.

Ответ: =.

Пример 10–5: Вычислить матрицу: C= Аⁿ ==AAA…=….

Решение:

В таблице представлена схема вычисления произведения матриц AA=T.

Столбец aj1	λ	0	Столбец ti1	Столбец aj2	1	λ	Столбец ti2
	λ	1	λ2		λ	1	2 λ
	0	λ	0		0	λ	λ2

В таблице представлена схема вычисления произведения матриц C= TA.

Столбец aj1	λ	0	Столбец ci1	Столбец aj2	1	λ	Столбец ci2
	λ2	2 λ	λ3		λ2	2 λ	3λ2
	0	λ2	0		0	λ2	λ3

Анализируя полученные результаты, видим закономерность: C ==. Для её доказательства применим метод математической индукции: будем считать, что утверждение C – верно. Тогда вычислим выражение D= =·:

В таблице представлена схема вычисления произведения матриц D= CA. с учётом принятого допущения о верности C.

Столбец	λ	0	Столбец	Столбец	1	λ	Столбец
	λn	n·λn-1	λn+1		λn	n·λn-1	(n+1)·λn
	0	λn	0		0	λn	λn

Видим, что утверждение: D= = верно. Это значит, полученная формула: = - верна!

Ответ: C=.

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Можно ли сложить матрицу с размерами (2х3) с матрицей с размерами (3х2)?

2. Можно ли умножить матрицу с размерами (2х3) на матрицу с размерами (2х3)?

3. Можно ли из одной матрицы вычесть другую? Каким условиям должны удовлетворять при этом матрицы? Какие размеры имеет матрица, являющаяся результатом этой операции?

4. Можно ли умножить матрицу A на матрицу A, если ?

5. Назовите свойства операции сложения матриц. Попробуйте их доказать.

6. Назовите свойства операции умножения матрицы на число. Попробуйте их доказать.

7. Назовите свойства операции умножения матриц. Попробуйте их доказать. Почему операция перемножения матриц не коммутативна?

Задачи для самоподготовки:

Пример C10–1: Пусть заданы матрицы: = и =. Вычислить: =+.

Ответ: операция сложения заданных матриц невыполнима.

Пример C10–2: Вычислить произведение матриц: C=AB=.

Ответ: C=.

Пример C10–3: Доказать, что если матрицы A и B – квадратные, причём ≠, то всегда справедливы утверждения: а) ;

б) .

Ответ: доказывается использованием свойств операций с матрицами.

< * * * * * >

ЗАНЯТИЕ 11. Обратная матрица: определение, способы вычисления. Матричные уравнения и способы их решения.

☺ ☻ ☺

Пример 11–1: Найти обратную матрицу для матрицы: .

Решение:

Способ-1. Используя выражение =, выполним действия:

1) Вычисляем определитель заданной матрицы: d = = –1 → матрица существует.

2) Вычисляем матрицу = , где = – алгебраическое дополнение к элементу матрицы .

При построении матрицы для вычисления алгебраического дополнения , соответствующего элементу , будем выделять соответствующий минор при помощи полосок картона, закрывая элемент горизонтальной и вертикальной полосками. Это позволит видеть любой выделяемый минор и легко записывать для дальнейшего использования! Указанные действия рекомендуется выполнять на черновике!

* Выделим миноры: к элементу ; к элементу ; к элементу :

	1											2											3
1					= 8;					1					= 5;					1					=–1,
		-3	1								2		1								2	-3
		-5	-1								3		-1								3	-5

и вычислим алгебраические дополнения ,, выделенных миноров:

== 8; = = 5; == –1;

* Выделим миноры: к элементу ; к элементу ; к элементу :

	1											2											3
		-4	5		= –29;						3		5		= –18;						3	-4			= 3,
2										2										2
		-5	-1								3		-1								3	-5

и вычислим алгебраические дополнения ,, выделенных миноров:

== –29; = = –18; == 3;

* Выделим миноры: к элементу ; к элементу ; к элементу :

	1											2											3
		-4	5		= 11;						3		5		= 7;						3	-4			= –1;
		-3	1								2		1								2	-3
3										3										3

и вычислим алгебраические дополнения ,, выделенных миноров:

== 11; = = 7; == –1;

3). Учитывая результаты вычислений, можем записать: =·.

Способ-2. Записываем связку двух матриц : =. Далее одновременным преобразованием строк этой матрицы, добиваемся преобразования ее левой половины в единичную матрицу . Правая половина матрицы будет иметь вид .

1). Выполним операции: (1): [R3] –[R1]; [R1] –[R2]: имеем =.

2). Выполним операции: (2): [R2] –[R1]·2; [R3] –[R2]. (3): [R2]+[R3]·7; [R1] –[R2]. Имеем:

=(2)→ =(3) → =.

3). Выполним операции: (4): [R1] – [R3] ·4. (5): [R2]·( –1), где R – строка. Имеем:

=(4) → =(5) →.

4). Получена обратная матрица: в правой половине связки матриц.

Замечание: в рассмотренном примере Способ-2 по трудоёмкости вычисления матрицы может оказаться проще, чем Способ-1, если при вычислении не было ни одной ошибки; если случилась ошибка, необходимо всё пересчитать заново!

Ответ: А^–1 =.

Пример 11–2: Найти обратную матрицу для матрицы: .

Решение:

Замечание: учитывая, что образное мышление у школьников чаще всего отсутствует, рекомендуем применять моделирование матриц размера при помощи матрицы размера (6,6).

Способ-1. Используем выражение =.

Замечание: далее при вычислении необходимых алгебраических дополнений использование моделирования миноров защищает от ошибок в вычислениях!

1). Вычисление определителя матрицы не представляет труда (треугольного вида!): d=1 → невырожденная: обратная матрица существует: =.

2). Пусть . Для выделенного элемента запишем: = ·= 1, так как минор при любом есть определитель треугольного вида. Это значит, что на главной диагонали матрицы располагаются 1.

		i																	i
	1				0		0	0		0					1		1	0		0		0
i															0		1	1		0		0
	0				1		1	0		0					0		0	1		0		0
	0				0		1	1		0				i
	0				0		0	1		1					0		0	0		1		1
	0				0		0	0		1					0		0	0		0		1

Это значит, что на главной диагонали матрицы располагаются числа 1.

3). Пусть : выделены элементы матрицы под главной диагональю. Для выделенного элемента матрицы запишем алгебраическое дополнение =·.

	j																	j
			1		0		0	0		0					1		1				0	0		0
i												↓			0		1				0	0		0
			0		1		1	0		0					0		0				1	0		0
			0		0		1	1		0				i												↓
			0		0		0	1		1					0		0				0	1		1
			0		0		0	0		1					0		0				0	0		1

Видим: все выделяемые миноры – определители треугольного вида, причём все элементы главной диагонали равны 1. В этом случае имеем: =. Если фиксировать столбец и передвигать полоску вниз в диапазоне , то легко заметить, что, знаки чередуются, начиная с минуса для положения полоски: . Это значит, что, перемещая полоску, мы рисуем строки матрицы над главной диагональю.