МП_С / Колоквиум_2012

Коллоквиум

Теоретические сведения

Вычисление значения с заданной точностью методом прямоугольников

Для вычисления значения определённого интеграла функции, монотонной и непрерывной на конечном отрезке [a,b], можно воспользоваться методом прямоугольников. Для вычисления первого приближения интеграла разделим отрезок [a,b], отвечающий пределам интегрирования (рис.1), на n равных частей (n = 4), определим значения

x_i = a+h*i-h/2;

h = (b-a)/n.

Вычислим площадь одного прямоугольника s_i=h*f(x_i). Сумма s_i площадей полученных прямоугольников является приближенным значением интеграла: .

Однако одно приближение не позволяет оценить точность, с которой вычислено значение интеграла, необходимо найти следующее приближение. Для этого увеличим n в два раза, т.е. n = 2n. Аналогично найдем .

Рис.1 Вычисление интеграла методом прямоугольников

Требуется вычислить значение интеграла с точностью , поэтому проверим условие |S1 - S2|<. Если условие выполняется, то S2 принимается за искомое значение интеграла; если не выполняется, то последнее выполненное значение S2 считается предыдущим, т.е. S1 = S2. После этого удвоим число точек деления отрезка и вычислим новое значение S2. Процесс удвоения n и вычисления S2 будем продолжать до тех пор, пока модуль разности S1 и S2 не станет меньше .

Пример 1. Вычисление интеграла методом прямоугольников.

#include <iostream.h>

#include <conio.h>

#include <math.h>

#define Pi 3.14159

int main()

{unsigned long i, n = 4;

float a,b,x,h,S1,S2,eps,exact;

a = 0; b = 3/(2*Pi); eps = 0.001;

S1 = 0;

h = (b – a)/n;

//Вычисляем сумму в первом приближении

for (i = 1; i<=n; i++)

{ x = a + i*h – h/2;

S1 = S1+ (1/(5–3*cos(x)))*h;

}

//Вычисляем текущее приближение и сравниваем его с предыдущим

do {n = 2*n;

h = (b – a)/n;

S2 = 0;

for (i = 1; i<=n; i++)

{x = a + i*h – h/2;

S2 = S2 + (1/(5–3*cos(x)))*h;

}

exact = fabs(S1 – S2);

S1 = S2;

} while(exact>eps);

cout << "S = " << S2) ;

return 0;

}

Решение уравнения f(x) = 0 с заданной точностью 

методом деления отрезка пополам

Для решения уравнения на отрезке , где непрерывная функция, меняющая знак на отрезке, можно применять метод деления отрезка пополам. Метод деления отрезка пополам заключается в следующем. Проверяется перемена знака функцией на отрезке [a,b] (рис.2).

Рис.2. Метод деления отрезка пополам.

Для этого вычисляются значения функций f(a) и f(b). Если f(a)*f(b)>0, то этот метод не приводит к желаемому результату. Если f(a)*f(b)<0, т.е. на концах отрезка [a,b] функция f(x) имеет противоположные знаки, то поиск корня происходит следующим образом. Находим в точке a значение функции y₁ = f(a). Затем определяем значение и вычисляем значения y₂ = f(х). Теперь, если f(a)*f(х)>0, то корень находится на отрезке [x,b], если f(a)*f(x)0, то корень находится на отрезке [a,x]. В первом случае перемещаем точку а вправо, выполняя присваивание а = х, во втором случае перемещаем b влево, b=x. Таким образом, получаем второй отрезок [a,b], но вдвое меньший предыдущего. Процесс деления отрезка пополам продолжаем до тех пор, пока отрезок [a,b] не станет меньше заданной точности. После этого вычисляем значение x = (a+b)/2.

Пример 2. Решение уравнения с заданной точностью  = 0.01 методом деления отрезка пополам, если корень находится на отрезке [1,3].

#include <iostream.h>

#include <conio.h>

main()

{ int n = 0;

float x, a = 1, b = 3, y1, y2, eps = 0.001, e, r, l;

l = a; r = b;

y1 = a*a*a – 2*a*a – 3;

y2 = b*b*b – 2*b*b – 3;

if (y1*y2>0) { cout << "Корней нет" <<endl;

getch();

exit(1) ;

}

do { ++n;

x = (a+b)/2;

y1 = a*a*a – 2*a*a – 3;

y2 = x*x*x – 2*x*x – 3;

if (y1*y2>0) a = x;

else b = x;

} while (b – a)>eps;

x = (a + b)/2;

cout << "Корень уравнения на отрезке "<< l << ", " << r << "равен " << x << " и получен за " << n <<"шагов";

cout << endl;

return 0;

}

Контрольные вопросы

1. Каким образом цикл while может имитировать цикл for?

2. Каким образом цикл while может имитировать цикл do-while?

3. В каких случаях используются операторы break, goto и continue и функция exit()?

Порядок выполнения коллоквиума

1. Получить от преподавателя номер варианта.

2. Ознакомиться с данным описанием и составить программу, указанную в задании.

3. Подготовить файл с программой и отладить её. Результаты показать преподавателю.

4. Оформить отчет.

Лабораторное задание

1. Для своего варианта cоставить программу вычисления суммы бесконечного ряда c точностью, значение которой ввести с клавиатуры задание 1.

2. Реализовать указанные в задании 2 методы, согласно номеру своего варианта.

Требования к отчету

Отчет должен содержать:

1. название и цель работы;

2. схему алгоритма;

3. краткие теоретические сведения;

4. текст программы для варианта задания, полученного от преподавателя;

5. результаты выполнения программ.

Варианты заданий

Задание 1

Ввести с клавиатуры х и точность вычисления Eps. Вычислить с заданной точностью сумму

Номер варианта	Задание
1, 16
2, 17
3, 18
4, 19
5, 20
6, 21
7, 22
8, 23
9, 24
10, 25
11, 26
12, 27
13, 28
14, 29
15, 30

Задание 2

Номер варианта	Задание
1, 16	Методом деления отрезка пополам найти приближенное значение корня уравнения x + ln(x + 0.5) – 0.5 = 0 на интервале [0,2]. Абсолютная погрешность не превышает .
2, 17	Методом деления отрезка пополам найти приближенное значение корня уравнения 2x3 + 4x – 1 = 0 на интервале [0,0.5]. Абсолютная погрешность не превышает .
3, 18	Методом деления отрезка пополам найти приближенное значение корня уравнения 1/x = sin x на интервале [0,2]. Абсолютная погрешность не превышает .
4, 19	Методом прямоугольников вычислить приближенное значение интеграла . Абсолютная погрешность не превышает 0.001.
5, 20	Методом деления отрезка пополам найти приближенное значение корня уравнения x4 + 2x3 – x – 1 = 0 на интервале [0,1]. Абсолютная погрешность не превышает 0.00015.
6, 21	Методом деления отрезка пополам найти приближенное значение корня уравнения x3 + 12x – 2 = 0 на интервале [0.5,1]. Абсолютная погрешность не превышает 0.00015.
7, 22	Методом прямоугольников вычислить приближенное значение интеграла . Абсолютная погрешность не превышает 0.001.
8, 23	Методом деления отрезка пополам найти приближенное значение корня уравнения x5 – x – 0.2 = 0 на интервале [0.9,1.1]. Абсолютная погрешность не превышает 0.0001.
9, 24	Методом деления отрезка пополам найти приближенное значение корня уравнения 5x + 8lnx – 1 = 0 на интервале [4,5]. Абсолютная погрешность не превышает 0.0015.
10, 25	Методом прямоугольников вычислить приближенное значение интеграла Абсолютная погрешность не превышает 0.001.
11, 26	Методом деления отрезка пополам найти приближенное значение корня уравнения x3 – 2x2 + x – 3 = 0 на интервале [2.1,2.2]. Абсолютная погрешность не превышает 0.001.
12, 27	Методом деления отрезка пополам найти приближенное значение корня уравнения x3 + x2 – 3 = 0 на интервале [0.5,1.5]. Абсолютная погрешность не превышает 0.00001.

13, 28	Методом прямоугольников вычислить приближенное значение интеграла . Абсолютная погрешность не превышает 0.001.
14, 29	Методом прямоугольников вычислить приближенное значение интеграла . Абсолютная погрешность не превышает 0.001.
15, 30	Методом прямоугольников вычислить приближенное значение интеграла . Абсолютная погрешность не превышает 0.001.