первый курс / BDZ_linal_matan
.pdf25) |
2y′′ − y′ − 6y = xe2x . |
26) |
y′′ + 2y′ + 26y = 13x2 . |
|
27) |
y′′ + 6y′ −16y = e2x . |
28) |
2y′′ +13y′ +18y = cos x . |
|
29) |
9y′′ + 30y′ + 25y = e−x |
. 30) |
4y′′′ + 9y′ = 3x2 + 2x |
. |
|
|
|||
121
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Литература
1.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Т. 2. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Дрофа, 2007.
2.Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Дрофа, 2003.
3.Ревякин А.М. Высшая алгебра: учеб. пособие. – М.: МИЭТ, 2007.
4.Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.: Альянс, 2007.
5.Сборник задач по математике для ВТУЗов / Под ред. А.В. Ефимова. Ч. 2. – М.:
Наука, 2001.
6.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2010.
122
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Приложение
Формулы сокращённого умножения
a2 - b2 = (a - b)(a + b) .
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 .
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 .
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 . a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2 ) . a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2 ) .
Логарифмические формулы
aloga b = b |
( a > 0 , a ¹ 1, b > 0 ). |
||||
loga (xy) = loga x + loga y |
( a > 0 , a ¹ 1, x > 0 , |
||||
æ |
ö |
|
|
|
|
loga ç |
x |
÷ |
= loga x - loga y |
|
|
|
( a > 0 , a ¹ 1, x > 0 , |
||||
è |
y ø |
|
|
||
loga xα = a × loga x |
( a > 0 |
, a ¹ 1, x > 0 ). |
||||||
logaα x = |
1 |
×loga x |
|
|
|
|||
|
( a > 0 , a ¹ 1, x > 0 ). |
|||||||
|
|
a |
||||||
loga b = |
logc b |
|
|
|
|
|||
logc a ( a > 0 , |
a ¹ 1, |
c > 0 , |
c ¹ 1, b > 0 ). |
|||||
|
||||||||
loga b = |
|
1 |
|
|
|
|
||
logb a ( a > 0 , |
a ¹ 1, |
b > 0 , |
b ¹ 1 ). |
|||||
|
||||||||
alogc b = blogc a ( a > 0 ,b > 0 , c > 0 , c ¹ 1).
y > 0 ).
y > 0 ).
123
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Некоторые тригонометрические формулы
cos2 a + sin2 a =1.
1 |
+ tg2 a = |
|
1 |
|
|
cos2 a |
|||||
|
|
||||
1 |
+ ctg2 a = |
1 |
|
||
sin2 a |
|||||
|
|
|
|||
æ |
p |
ö |
ça ¹ |
2 |
+ pn, nÎZ÷ |
è |
ø . |
(a ¹ pn, nÎZ) .
Тригонометрические формулы сумм и разностей двух углов sin(α ± β) = sin αcosβ ± cosαsinβ .
cos(α ± β) = cosαcosβ m sin αsinβ .
tg(a ± b) = |
tga ± tgb |
|
|
1m tga tgb . |
|||
|
|||
Формулы двойных углов и понижения степени sin 2α = 2sin α cosα .
cos2α = cos2 α − sin2 α = 2cos2 α −1 = 1− 2sin2 α .
tg 2a = |
|
2tga |
|
|
|
|
|
1- tg2 a . |
|||
sin2 a = |
1- cos2a |
||
|
|
2 . |
|
cos2 a = 1+ cos2a 2 .
Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение
sin a + sinb = 2sin a + b cos a -b |
|
2 |
2 . |
sin a - sinb = 2sin a - b cos a + b |
|
2 |
2 . |
cosa + cosb = 2cos a + b cos a - b |
|
2 |
2 . |
cosa - cosb = -2sin a + b sin a -b |
|
2 |
2 . |
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму
sin acosb = 12 (sin(a -b) + sin(a + b)).
124
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
cosacosb = 12 (cos(a -b) + cos(a + b)) .
sin asinb = 12 (cos(a - b) - cos(a + b)).
Таблица производных
C¢ = 0 .
(xn )′ = n xn−1 (x > 0, nÎR, n ¹ 0) .
(sin x)′ = cos x .
(cos x)′ = −sin x .
(tg x)¢ = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos2 x . |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
¢ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ctg x) = - |
|
sin2 x . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(ax )′ = ax ln a (a > 0, a ¹1). |
|
||||||||||||||||||
(ex )′ = ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(loga x)¢ = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a > 0, a ¹1, x > 0) . |
|||||||
|
|
xln a |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(ln x)¢ = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
¢ |
= |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(arcsin x) |
|
|
1- x2 . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
¢ |
= - |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(arccos x) |
|
|
|
1- x2 . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(arctg x) |
¢ |
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1+ x2 . |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x2 . |
|
|
|||||||||
(arcctg x) |
= - |
|
|
||||||||||||||||
Таблица интегралов |
|
||||||||||||||||||
ò0dx = C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(C = const) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
òxndx = |
xn+1 |
|
+ C |
(n ¹ -1) |
|
||||||||||||||
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
125
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
òdx |
= ln |
|
x |
|
+ C |
|
|
||
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
ax |
|
|
|||||
òaxdx = |
|
+ C |
(a > 0, a ¹ 1) |
|
|||||
ln a |
. |
||||||||
|
|
|
|
||||||
òexdx = ex + C .
òsin xdx = −cos x + C .
òcos xdx = sin x + C .
ò |
|
|
dx |
|
|
= tg x + C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ò |
|
|
dx |
|
|
= −ctg x + C |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ò |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= arcsin |
|
|
+ C |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
a2 − x2 |
(-a < x < a, a > 0) |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
dx |
|
|
= |
|
1 |
arctg |
x |
+ C |
(a ¹ 0) . |
|
|
|
||||||||||||||||
x |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
+ a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ò |
|
|
|
|
|
|
= ln (x + x2 + a )+ C |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x2 + a |
(a ¹ 0) |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
dx |
|
= |
|
1 |
|
|
x − a |
|
+ C |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
x + a |
(a ¹ 0) . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
|
− a |
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Функции в экономике, эластичность
Средняя себестоимость продукции
C(x) = C(x) x ,
где C(x) – функция себестоимости продукции; х – количество единиц продукции.
Функция дохода
R(x) = px (р – цена одной единицы товара);
R(x, y) = p1x + p2 y ( p1 , p2 – цены двух видов товаров).
Функция прибыли
P(x) = R(x) − C(x) ;
P(x, y) = R(x, y) − C(x, y) ,
где C(x, y) – функция себестоимости продукции; х , у – количество единиц продукции.
126
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Эластичность спроса от цены
E |
|
(q) = |
|
p |
q′ |
|
|
|
|
|
|||
|
p |
|
|
q p |
||
|
|
|
|
|
|
(q – функция спроса). |
Эластичность спроса от доходов |
||||||
E (q) = |
r |
q′ |
||||
|
||||||
r |
|
q r |
||||
|
|
|
|
|
|
(r – функция дохода). |
Производственная функция Кобба - Дугласа |
||||||
y = a0 K a1 La2 ,
где у – величина выпуска продукции; K – капитал; L – живой труд (a0 , a1 , a2 = const) .
Эластичность выпуска по капиталу
E1 = K y′K y .
Эластичность выпуска по труду
E2 = L y′L y .
Эластичность производства
E = E1 + E2 .
127
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com