первый курс / matan_voprosy

Вопросы к экзамену по математике

ИнЭУП – I

1 семестр 2013/14 уч. г.

1. Определение последовательности. Определение ограниченной последовательности. Определение сходящейся последовательности (предел последовательности). Геометрический смысл предела. Свойства сходящихся последовательностей (единственность, ограниченность, переход в неравенствах, арифметические свойства). Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.

2. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности. Число е.

3. Определения предела функции (по Коши, по Гейне). Свойства функций, имеющих предел (ограниченность, сохранение знака, переход в неравенствах, арифметические). Односторонние пределы.

4. Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность композиции функций, сложной функции, ограниченность непрерывной функции.

5. Точки разрыва. Классификация.

6. Первый замечательный предел (с доказательством).

7. Второй замечательный предел. Примеры.

8. Эквивалентность функций. Применение эквивалентных функций в вычислении пределов (теорема с доказательством). Примеры эквивалентных функций.

9. Принцип вложенных отрезков.

10. Определение точной верхней и точной нижней граней. Теорема о существовании верхней и нижней граней.

11. Теорема Больцано-Вейерштрасса (с доказательством).

12. Теорема об ограниченности непрерывной на отрезке функции.

13. Теорема Вейерштрасса (о наибольшем и наименьшем значении).

14. Теорема Больцано-Коши (о нуле непрерывной на отрезке функции).

15. Определение производной. Непрерывность дифференцируемой функции. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали, угол между кривыми. Свойства производной.

16. Таблица производных (с доказательством).

17. Производная сложной функции. Производная обратной функции.

18. Определение дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Свойства дифференциала. Применение первого дифференциала в приближённых вычислениях.

19. Дифференцирование параметрически заданных функций.

20. Определение точки экстремума. Теорема Ферма о необходимом условии экстремума (с доказательством).

21. Теорема Ролля (с доказательством).

22. Теорема Коши о непрерывных на отрезке функциях, имеющих производную (с доказательством).

23. Теорема Лагранжа, теорема об условиях монотонности функции (с доказательством).

24. Правило Лопиталя. Теорема с доказательством.

25. Формула Тейлора. Теорема о разложении многочлена (с доказательством). Теорема о разложении функции по формуле Тейлора. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

26. Достаточные условия локального экстремума (с доказательством).

27. Выпуклость графика функции. Достаточные условия выпуклости (с доказательством).

28. Точка перегиба. Достаточные условия (с доказательством).

29. Асимптоты. Определения вертикальной асимптоты, наклонной асимптоты. Теорема о нахождении наклонной асимптоты (с доказательством).

30. Определение числового ряда. Определение сходящегося числового ряда. Необходимый признак сходимости. Следствие.

31. Признаки сравнения для числовых рядов.

32. Признак Даламбера, признак Коши.

Программа-минимум по курсу «Математика»

ИнЭУП – I, 1 семестр

1. Предел последовательности.

2. Предел функции.

3. Определение производной.

4. Свойства производной.

5. Таблица производных.

6. Производная сложной функции.

7. Экстремумы. Необходимые и достаточные условия.

(По каждому пункту студент должен формулировать определения или теоремы и уметь решать стандартные задачи).