Задачи.

Все рассматриваемые многочлены предполагаются принадлежащими кольцу .

1. Разделите с остатком многочлен на многочлен.

2. Найдите наибольший общий делитель , если,. Далее, найдите многочленыитакие, что.

3. Найдите все неприводимые многочлены 3-й, 4-й и 5-й степеней в кольце .

Разложите следующие многочлены в произведение неприводимых многочленов.

4. .

5. .

6. .

Через будем обозначать идеал, порождённый многочленом. Этот идеал состоит из всех многочленов, делящихся на.

7. Выпишите таблицу умножения для элементов фактор-кольца . Будет ли это кольцо полем?

Найдите наименьший идеал, содержащий многочлены и.

8. .

9. .

10. Выпишите таблицу умножения для элементов фактор-кольца , взяв в качестве представителей смежных классов многочлены степени не выше второй. Будет ли это кольцо полем?

11. Выпишите таблицу умножения для элементов фактор-кольца , взяв в качестве представителей смежных классов многочлены степени не выше второй. Будет ли это кольцо полем?

12. Задайте явным образом изоморфизм полей из задач 10 и 11.

61