Задачи.

Докажите, что следующие булевы функции тождественно равны, сравнив их таблицы истинности.

1. .

2. .

3. .

4. .

Для следующих булевых функций трёх переменных составьте их таблицы истинности.

5. .

6. .

7. .

Найдите СДНФ и СКНФ для следующих функций.

8. Для функции .

9. Для функции .

10. Для функции .

0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	0	1
0	1	0	1	1	0
0	1	1	1	0	0
1	0	0	0	1	0
1	0	1	1	0	0
1	1	0	1	0	1
1	1	1	1	1	1

4.3. Полные системы и замкнутые классы булевых функций

Определение 1. Пусть – некоторая система булевых функций произвольного конечного числа аргументов, а– фиксированный набор переменных. Определим множество функций, порождённое системой. Пусть. Будем считать, что функция, которая получается в результате подстановки вместо аргументов функциипеременных из списка(в любых сочетаниях), принадлежит. Кроме того, если функция, то функция, полученная в результате подстановки вместо аргументов функциилюбых переменных из спискаили функция из, также принадлежит. Будем говорить, что множество функцийпорождено системой. Функцию, принадлежащую, будем называть суперпозицией функций из.

Определение 2. Система булевых функций называется полной, если для любого списка конечного числа переменныхмножествосовпадает с множеством всех булевых функцийпеременных.

Определение 3. Полная система булевых функций называется базисом, если она является минимальной полной системой по включению. Другими словами, если из этой системы удалить хотя бы одну функцию, то оставшиеся функции уже не будут образовывать полную систему.

Лемма. Пусть имеются две системы и, и каждая из функций системывыражается через функции системы. Тогда, если системаявляется полной, то и системабудет полной.

Доказательство. Пусть – произвольная булева функции. Тогда её можно выразить через функции системы. Каждую функцию, входящую в это выражение можно в свою очередь выразить через функции системы. В результате получим выражение функциичерез функции системы, следовательно, эта система также является полной.

Лемма доказана.

Теорема 1. Следующие системы булевых функция являются полными:

(А): ;

(В): ;

(С): ;

(D): .

Доказательство. Из теоремы 1 предыдущего параграфа следует, что система является полной. Но. Поэтому система (А) полна.

Аналогично, полна система (B), поскольку . Далее,. Поэтому. Кроме того,. Значит, система (С) также полна.

Аналогично полна система (D).

Теорема доказана.

Определение 3. Если в качестве сложения рассматривать сложение по модулю 2 (обозначение ), а в качестве умножения – конъюнкцию (обозначение), то многочлен отпеременных с коэффициентами 0 и 1 называется многочленом Жегалкина.

Заметим, что в многочлене Жегалкина не могут присутствовать степени переменных выше первой, поскольку всегда .

Теорема 2. Каждая булева функция может быть записана в виде многочлена Жегалкина, причём, единственным образом.

Доказательство. Во-первых, заметим, что система функций является полной, поскольку. Следовательно, любую булеву функцию можно записать в виде многочлена Жегалкина.

Подсчитаем число многочленов Жегалкина от переменных. Число одночленов есть. Перед каждым из них можно поставить коэффициент 0 или 1 и образовать сумму. В итоге получиммногочленов, т.е. ровно столько же, сколько и булевых функций. Поскольку разные булевы функции не могут иметь один и тот же многочлен Жегалкина, то соответствие между многочленами Жегалкина и булевыми функциями является взаимно однозначным.

Теорема доказана.

Пример. Запишем дизъюнкцию в виде многочлена Жегалкина..

Определение 4. Семейство булевых функций будем называть замкнутым классом, если любая суперпозиция функций изопять принадлежит.

Определение 5. Класс всех булевых функций (любого конечного числа аргументов), для которых , обозначим. Класс всех булевых функций, для которых, обозначим .

Предложение 1. Классы иявляются замкнутыми.

Доказательство. Пусть и. Заметим, что, поэтому возможно, что. Тогдаи, значит, классзамкнут.

Аналогично, замкнут.

Предложение доказано.

Определение 6. Функция называется двойственной к. В случаефункцияназывается самодвойственной. Класс всех самодвойственных функций обозначим.

Предложение 2. Класс замкнут.

Доказательство. Заметим, что . Пусть

,,…,

и

.

Тогда

,

что и означает самодвойственность функции .

Предложение доказано.

Определение 7. Будем считать, что две двоичные последовательности длины исвязаны неравенством, если. Функциюбудем называть монотонной, если для любых наборови, таких чтовыполняется неравенство. Класс всех монотонных функций обозначим.

Предложение 3. Класс замкнут.

Доказательство. Заметим, что . Пусть

.

Подставим функцию ввместо переменной. Возьмём наборы. Пусть,. Тогдаи

,

что и означает замкнутость .

Предложение доказано.

Определение 8. Булеву функцию переменных будем называть линейной, если она имеет вид

, где .

Предложение 4. Класс всех линейных функций замкнут.

Доказательство. Если и, то, подставляя вэти выражения, мы получим снова линейную функцию.

Предложение доказано.

Предложение 5. Классы различны.

Доказательство. Составим таблицу принадлежности функций этим классам (принадлежность обозначается +).

0	+	–	–	+	+
1	–	+	–	+	+
	–	–	+	–	+

Так как все столбцы различны, то все классы разные.

Предложение доказано.

Заметим также, что каждый из классов не совпадает с множеством всех булевых функций.