4. Элементы математической логики

4.1. Алгебра высказываний

Одним из первоначальных понятий математической логики является понятие высказывания. В математике мы часто имеем дело с различными высказываниями. Например,

• ;

• 17 делится на 8;

• 101 – простое число.

Каждое такое высказывание формулируется с помощью математических символов или слов какого-то языка. Мы можем сказать, что первое и второе высказывания из этого списка являются, очевидно, ложными, а третье высказывание – истинно. Высказывание – это такое предложение, формулируемое с помощью некоторого языка, относительно которого имеет смысл говорить истинно оно или ложно. Не каждую последовательность математических символов или слов некоторого языка можно считать высказыванием. Например, следующие предложения высказываниями не являются.

• Число 0,0001 очень мало.

• Существует ли число, квадрат которого равен 2?

• Да здравствует книга – источник знаний!

• .

Действительно, в первом предложении понятие очень мало не имеет точного смысла, и поэтому мы не можем сделать вывода о справедливости такого утверждения. Не имеет смысла говорить истинно или ложно вопросительное или восклицательное предложение. Что касается последнего, то, не зная , мы не можем сказать истинно это неравенство или нет.

Относительно высказываний справедливо следующее:

1. всякое высказывание является либо истинным, либо ложным (закон исключения третьего);

2. никакое высказывание не может быть одновременно истинным и ложным (закон противоречия);

Каждому высказыванию мы будем сопоставлять его значение истинности: 1 – если высказывание истинно, и 0 – если ложно.

В дальнейшем высказывания мы будем обычно обозначать большими латинскими буквами: .

Над высказываниями можно производить логические операции. Мы рассмотрим следующие из них: конъюнкцию, дизъюнкцию, отрицание, импликацию, эквивалентность. Результатом операции над высказываниями является новое высказывание. Дать определение операции означает в точности указать, когда новое высказывание является истинным, а когда – ложным. Определение вышеназванных операций мы дадим чуть ниже с помощью так называемой таблицы истинности, а пока приведём их обозначение и соответствующий им оборот русского языка.

Название операции	Обозначение	Оборот русского языка
1. Конъюнкция		«и»
2. Дизъюнкция		«или»
3. Отрицание		«не»
4. Импликация		«если , то», «изследует»
5. Эквивалентность		«тогда и только тогда, когда»

В следующей таблице указаны значения истинности полученного в результате операции высказывания в зависимости от значений истинности высказываний, участвующих в операции. Её можно рассматривать как определение этих операций.

Определение 1.

0	0	0	0	1	1	1
0	1	0	1	1	1	0
1	0	0	1	0	0	0
1	1	1	1	0	1	1

Для примера сформулируем определение конъюнкции. Конъюнкцией двух высказываний иназывается высказывание, которое истинно только в том случае, когда истинны оба высказыванияиодновременно.

Аналогично, пользуясь вышеприведённой таблицей, можно сформулировать определения остальных логических операций.

Пример 1. – идёт дождь, – дует ветер.

–идёт дождь и дует ветер;

–идёт дождь или дует ветер;

–дождь не идёт;

–если идёт дождь, то дует ветер;

–дождь идёт тогда и только тогда, когда дует ветер.

В дальнейшем мы будем отвлекаться от конкретного смысла высказывания и считатьпросто переменной, принимающей два значения: 0 или 1. Такие переменные называют логическими или булевыми.

Теперь перейдём к предикатам.

Определение 2. Если некоторое предложение содержит переменные величины, принимающие значения из некоторого множества так, что при каждом наборе конкретных значений этих величин данное предложение превращается в высказывание, то мы имеем дело с предикатом. Количество неизвестных величин, входящих в такое предложение, называется местностью предиката. Бывают одноместные, двухместные, трёхместные и т.д. предикаты.

Приведём некоторые примеры.

Пример 2.

1. ;

2. ;

3. делится на 6;

4. делится на ;

5. .

Уравнение из 1) содержит переменную. При подстановке конкретных значениймы получаем высказывание, которое может быть верным или неверным. Так, приполучаем неверное равенство, а при– верное.

Для каждого предиката нужно знать, какие значения могут принимать неизвестные величины. Так, в 1), 2) и 5) неизвестные имогут принимать действительные значения, а в 3) и 4) неизвестныеипредполагаются натуральными числами. Предикаты в 1), 2), 3) – одноместные. В 4) и 5) мы имеем дело с двухместным и трёхместным предикатами соответственно.

Далее, к предикатам мы будем приписывать так называемые кванторы. Бывают квантор всеобщности (обозначение ) и квантор существования (обозначение).

Обозначение читается « для любого». Обозначениечитается « существует». К любой неизвестной величине, входящей в предикат, можно слева приписать квантор. Если к-местному предикату слева приписать квантор, относящийся к одной из неизвестных, то получится-местный предикат.

Пример 3.

1. ;

2. ;

3. делится на 6;

4. делится на ;

5. ;

6. .

Запишем словесно, например, последнее высказывание: «Для любого и для любогосуществует такое, что.

В заключение отметим, как можно построить отрицание высказывания, содержащего кванторы. Пусть – одноместный предикат с неизвестным. Отрицание высказыванияозначает, чтоверно не для всех, т.е. существует такое, для которогоневерно. Поэтому

.

Аналогично,

.

Пример 4.

.