Задачи.

Пусть циклический код задаётся порождающим многочленом . Найдите проверочный многочлен, порождающую и проверочную матрицы. Определите вес кода.

1. .

2. .

2.4. Бчх-коды

В этом параграфе мы рассмотрим самую простую конструкцию БЧХ-кода. Допустим, мы хотим построить код с минимальным расстоянием не менее . Нам потребуется следующий факт из линейной алгебры.

Предложение 1. Если – элементы некоторого поля, то

.

Определение 1. Определитель , указанный в предложении 1, называется определителем Вандермонда.

Если все элементы различны, то определитель Вандермонда отличен от нуля.

Теорема 1. Пусть число такое, что, где. Пусть– примитивный элемент. Пусть– минимальный многочлен для,– минимальный многочлен дляи т.д. Рассмотрим циклический код с порождающим многочленом

.

Если , а, то мы получим-код с минимальным расстоянием не менее.

Доказательство. Заметим, что , т.к.и. Многочлен– многочлен наименьшей степени с корнями. Поэтому, если– кодовый многочлен, то, где. Мы хотим показать, что любой многочлен с корнямиимеет не менеененулевых коэффициентов.

Допустим противное. Пусть многочлен

имеет своими корнями . Тогда выполняются равенства

.

Матрица этой системы имеет вид

.

Её определитель есть произведениена определитель Вандермонда, и поэтому. Отсюда.

Теорема доказана.

Определение 2. Код, описанный в теореме 1, называется БЧХ-кодом.

БЧХ-коды были введены Боузом и Чоудхури в 1959 г. и Хоквингемом в 1960 г. Они используются в течение многих лет в европейских и трансатлантических информационных системах связи. Сообщения в них имеют длину 231, а порождающий многочлен имеет степень 24, так что длина кодовых слов равна 231 + 24 = 255 =2⁸ – 1. Этот код обнаруживает, по меньшей мере, 6 ошибок, и вероятность неправильного декодирования – одна 16-миллионная.

Теорема 2. В условиях теоремы 1 слово является кодовым, где

.

Доказательство. Если слово – кодовое, то мно­гочленделится наи поэтому элементыявляются его корнями. Посколькуесть произведение-й строки матрицына вектор, то необходимость доказана.

Обратно, пусть . Тогда элементыявляются корнями многочлена, но многочлен– многочлен наименьшей степени с этими же корнями. Поэтомуделится наи, значит, словоявляется кодовым.

Теорема доказана.

В действительности матрицу можно несколько упростить, выбросив из неё несколько «лишних» строк. Поскольку мы рассматриваем поля только характеристики 2, то. Поэтому, если элементявляется корнем многочлена, то элементытакже являются корнями этого многочлена. Следовательно, строчки матрицыс номерами 2, 4, 8 и т.д. можно удалить. Точно также, оставив 3-ю строку матрицы, можно удалить 6-ю, 12-ю и т.д.

Процедуру декодирования БЧХ-кода рассмотрим на следующем примере.

Пример 1. Возьмём в теореме 1 . Тогда. В качестверассмотрим, и возьмёмкак примитивный элемент этого поля. Многочленбудет минимальным многочленом для элементов. Дляминимальным многочленом будет. Поэтому порождающим многочленом БЧХ-кода будет

.

Следовательно, . Получаем-код, исправляющий 2 ошибки. В матрицеиз теоремы 2 можно оставить только 1-ю и 3-ю строчки по соображениям, изложенным после этой теоремы. Если на вход поступило слово, то результат произведения 1-й строки на, обозначим, а результат произведенияна оставшуюся 3-ю строку обозначим.

Для удобства счёта разложим степени элемента в полепо базису.

1 = 1

Допустим, на приём поступила последовательность . Стоит задача исправить ошибки в этом слове. Тогда.

Далее,

.

Если и– степени элемента, соответствующие номерам координат, в которых допущены ошибки (например, если ошибки допущены в 3-й и 10-й позициях, то), то,. Для нахожденияиполучаем систему уравнений

Поскольку , то.

Таким образом, иявляются корнями квадратного уравнения

.

Подбором находим корни . Значит, векторимеет ошибки во 2-й и в 12-й позициях. После исправления получим вектор

.

Ещё один пример: .

.

Учитывая предыдущие вычисления, . Тогда,. Поэтому. Но уравнение

решений не имеет! Это говорит о том, что ближайшее кодовое слово отстоит от вектора на расстоянии, бóльшем, чем 2, и мы не сможем его декодировать.