Задачи.

Линейный -код задан порождающей матрицей. Найдите проверочную матрицу. Определите вес кода. Сколько ошибок обнаруживает и сколько ошибок исправляет такой код? Найдите разложениев смежные классы по подгруппе. Выберите лидеры смежных классов. Ошибки в каких разрядах могут быть исправлены?

1. .

2. .

3. .

4. Коды иназываются эквивалентными, если существует взаимно однозначное отображение, сохраняющее расстояния между словами. Какие из кодов в примерах 1 – 3 эквивалентны?

5. Линейный -код задан порождающей матрицей

.

Найдите проверочную матрицу. Определите вес кода. Сколько ошибок обнаруживает и сколько ошибок исправляет такой код?

2.2. Коды Хэмминга

Определение 1. Максимальное число точек пространства ,попарные расстояния между которыми не меньше, обозначим.

Предложение 1. Справедливо неравенство Хэмминга

.

Доказательство. Число точек в шаре радиуса равно. Действительно, если– центр шара, то эта точка принадлежит шару. Существуетточек, отстоящих отна расстоянии 1, т.к. вможно изменить одну координатуспособами. Существуетточек, отстоящих отна расстоянии 2, и т.д.

,

т.к. шары не пересекаются.

Определение 2. Линейный -кодвесаназывается совершенным, если

.

Таким образом, для совершенного кода неравенство Хэмминга превращается в равенство.

Код Хэмминга, исправляющий одну ошибку, это линейный -код, где(– некоторое натуральное число).

Проверочная матрица этого кода имеет размерыи представляет собой двоичную запись натуральных чисел, расположенных по столбцам. Например, для

.

Если была допущена одна ошибка, и на приём поступило слово , то векторбудет представлять двоичную запись разряда, в котором эта ошибка была допущена.

Определение 3. Отношение для блочного-кода называется скоростью передачи.

Для кода Хэмминга при.

Код Хэмминга является совершенным (при , т.к.

,

а – размерность пространства кодовых слов.

Вес кода Хэмминга , т.к. в проверочной матрице нет одинаковых столбцов, т.е. любые два столбца линейно независимы, и существуют 3 столбца, которые линейно зависимы, например, сумма первых двух столбцов равна третьему.

Задачи.

Запишите проверочную матрицу для -кода Хэмминга. Известно, что в принятом словедопущена одна ошибка. Исправьте её.

1. .

2. .

3. .

2.3. Циклические коды

Определение 1. Линейный -код называется циклическим, если вместе с векторомон всегда содержит вектор.

Каждому кодовому слову линейного-кода сопоставим многочлен(над).

Предложение 1. Линейный -кодявляется циклическиммножество соответствующих многочленов образует идеал в кольце.

Доказательство. Пусть код – циклический. Тогда множество соответствующих многочленов образуют абелеву группу. Если, то. Тогда. Поскольку, то. Следовательно,– идеал.

Обратно, если – идеал,,, то, т.е.и, значит, код– циклический.

Предложение доказано.

Определение 2. Многочлен наименьшей степени, порождающий идеал многочленов циклического кода, будем называть порождающим многочленом циклического кода.

Теорема 1. Пусть – порождающий многочлен циклического кода. Тогда матрица

размера является порождающей матрицей кода. Пусть. Тогда матрица

размера – проверочная матрица кода. Размерность кода совпадает со степенью.

Доказательство. Строки матрицы линейно независимы, т.к.. Если– многочлен кода, тоиделится нав обычном смысле. Пусть, где. Тогдаи. Значит, строки матрицыдействительно образуют базис кода.

Умножим -ю строчку матрицына-ю строчку матрицы

;

.

Получим сумму вида

,

что представляет собой коэффициент при в произведении многочленов, причём, т.к. произведение последних строк будет равно, т.е., а произведение первых строк равно, т.е..

Теорема доказана.

Пример 1. Многочлен раскладывается на множители следующим образом

.

Рассмотрим циклический код с порождающим многочленом . Проверочный многочлен будет равен. В этом случае,. Тогда порождающая матрица кода имеет вид

.

Проверочная матрица будет такой

.

Поскольку в матрице нет одинаковых столбцов, любые два столбца линейно независимы. Сумма первого, второго и четвёртого столбцов равна нулю, поэтому существуют три столбца, которые линейно зависимы. Следовательно, вес кода равен 3 и поэтому этот код исправляет одну ошибку. Рассмотрим процедуру кодирования и декодирования. Поскольку мы имеем дело с-кодом, при кодировании слова длиной 4 преобразуются в слова длины 7. Рассмотрим слово. Ему соответствует кодовый многочлен. Кодирование состоит в умножении на порождающий многочлен.

.

Допустим, в процессе передачи произошла одна ошибка и на приёме вместо многочлена мы получили. Чтобы иметь возможность исправлять одну ошибку нужно составить таблицу синдромов ошибок. Выражениебудем называть локатором ошибки. Синдром ошибки получается при умножении локатора ошибки на проверочный многочлен (все умножения производятся в фактор-кольце). В результате получается следующая таблица синдромов ошибок

Локатор	Синдром
1

Умножая полученный многочлен наполучим

Далее по таблице находим локатор ошибки . Исправленный многочлен. Процесс декодирования завершается делением многочленана. Так выглядит процесс кодирования и декодирования для циклических кодов.