Лекции Олейник PDF / Р_3_3

Таким образом, код дерева, изображенного на рис. 3.44 -2 2 4 4 6 6 . ►

9

Рис. 3.46.

Построение дерева по коду из натуральных чисел рассмотрим на примере кода 2 2 4 4 6 6 . Прежде всего заметим, что дерево, которое нам предстоит построить, имеет 8 вершин.

149

последовательности друг под другом; под последней из них запишем код дерева (см. рис. 3.47). Выпишем пары вершин, записанные друг под другом в последних двух строчках: (12), (32), (24), (54), (46), (76). Каждая такая пара - это пара концов одного из ребер дерева. Этот список дополним парой вершин, отсутствующих в предпоследней строчке, т.е. парой (6,8). Теперь построим дерево: отметим на плоскости точки - вершины дерева и соединим их ребрами согласно списку (см.

рис. 3.47).

Упр а жн е н ие 3 . 2 3 . Построить дерево по коду [2 2 5 5 5 5].

Теоретические обоснования

Теорема 3.4 (о характеристических свойствах деревьев). Для графа G V , E следующие утверждения равносильны:

1) граф G - дерево;

2) G ациклический и E V 1;

3)G связный и E V 1;

4)G связный, и каждое его ребро является мостом;

5)любые две вершины графа G можно соединить простой цепью, притом единственной;

6)G ациклический, и добавление к нему нового ребра приводит к

образованию единственного простого цикла.

Доказательство. Доказательство проведем по следующей схеме:

1 2 3 4 5 6 1.

150

1 2 . Индукцией по числу ребер проверим, что для любого

Ин д ук т и в н ы й пер е хо д . Предположим, что требуемое равенство выполняется для любого дерева с числом ребер, меньшим

либо равным n0 . Докажем, что оно справедливо и для дерева с числом ребер n0 1. Удалим из графа G произвольное ребро e . Согласно свойству мостов (см. теорему о мостах и циклах из параграфа 3.2),

которого на единицу меньше числа вершин, который связным не

или

151

E V k .

Так как k 2 , то пришли к противоречию с условием E V 1. Следовательно, наше предположение было неверным.

3 4 . Докажем, что если граф связный и E V 1, то каждое его ребро является мостом. Будем рассуждать от противного. Предположим, что найдется связный граф G V , E , у которого

E V 1 и при этом есть ребро e , не являющееся мостом. Тогда

граф G e связный и

G e E(G e) V (G e) 1E 1 V 1 E V 1 0 .

Получили противоречие с утверждением теоремы о знаке цикломатического числа, значит, наше предположение было неверным.

4 5 . Из связности графа вытекает, что любые две его вершины можно соединить путем, а следовательно, и простой цепью. Докажем, что эта простая цепь единственна. Доказательство проведем от противного. Предположим, что найдется связный граф, все ребра

ребра e . Из этого маршрута выделим простую цепь из u в v и склеим

простая цепь, соединяющая вершины u и v , а часть цикла за вычетом ребра e - другая (если e uu - петля, то имеется также две простые цепи из u в u : ими является цепь из одной вершины u и цепь ueu ). Получили противоречие с условием 5.

две простые цепи из a в b , а наличие двух таких цепей противоречит условию 5.

6 1. Будем рассуждать от противного, т.е. предположим, что существует несвязный граф G , для которого выполнено условие 6. Возьмем на этом графе две вершины, лежащие в разных компонентах

привело к образованию цикла, что противоречит условию 6. ■

Следствие. Неодноэлементное дерево имеет не менее двух висячих вершин.

Доказательство. Рассмотрим произвольное дерево, имеющее не

Задачи повышенной сложности

3.21. Опираясь на теорему о характеристических свойствах деревьев, доказать, что граф G V , E , имеющий k компонент связности, является лесом в том и только в том случае, когда

EV k .

3.22.Опираясь на теорему о характеристических свойствах деревьев, доказать, что если степень каждой вершины неориентированного графа не меньше двух, то он содержит цикл.

3.23.Используя теорему Кирхгофа, показать, что число остовов в

полном графе Kn с помеченными вершинами равно nn 2 .

Замечание. Любой остов в полном графе Kn с помеченными вершинами - это дерево с вершинами 1, 2, 3,..., n , а совокупность всех таких остовов - это совокупность всех деревьев с помеченными вершинами. Отсюда заключаем: число деревьев с n помеченными

вершинами равно nn 2 (теорема Кэли).

154