Лекции Олейник PDF / Р_3_1

Пусть V

- подмножество множества вершин графа

G (V , E) .

Включим

в

множество

E

все

ребра

графа

G , концы

которых

V . Подграф

G

G (V , E)

принадлежат

V , E

графа

назовем

подграфом, порожденным множеством V .

Пр и м ер 6 . Рассмотрим граф G ,

представленный диаграммой на

рис. 3.9. Графы H1 , H2 , H3 , H4 , H5 - подграфы G . Подграф H3

порожден подмножеством V a1, a2 , a3 , a4 вершин графа

G , в то

время

как подграф

H2 ,

множество

вершин

которого

совпадает с

множеством вершин графа

H3 ,

не является подграфом, порожденным

множеством своих вершин V .

a1

e1

a2

e6

a1

e1

a2

a1

a2

e4

e3

e3

e2

a

5

e7

a3

a4

e

3

a

a4

e

5

4

5

G

H1

H2

a

e1

a

a

e

a

a

1

2

1

1

2 e

2

e3

e2

6

e

a4

a

5

a3

e7

a4

a4

e5

3

e5

3

H3

H4

H5

Рис. 3.9.

Пусть

H1 V1, E1

и

H2 V2 , E2 -

подграфы

графа

G V , E .

Пересечением

графов

H1

и

H2

называется

граф

H1 H2

V1 V2 , E1

E2 ,

т.е. граф,

множества вершин и ребер

Объединением

графов

H1

и

H2

называется

граф

H1 H2

V1

V2 , E1

E2 ,

т.е. граф,

множества вершин и ребер

которого являются объединением соответствующих множеств графов

H1

и H2 .

Аналогично определяется пересечение и объединение любого

конечного числа подграфов.

Пр и м ер 7 .

На рис. 3.10 показаны пересечения и объединения

подграфов из примера 6.

Совокупность непустых, попарно-непересекающихся подграфов

H1 ,

H2 ,…, Hk

графа

G называют дизъюнктным разбиением графа

k

G , если их объединение совпадает с графом G , т.е.

G Hi .

i

1

a

a

a

e1

a

a

1

2

1

2

2

e4

e3

e2

e2

a5

a4

a4

e

a3

a3

e7

5

H1 H2

H1 H2

H4 H5

a

e1

a

a

a

a

e1

a

1

2

e6

1

2

1

e4

2

e6

e5

e2

a5

a5

a4

3

e7

a4

a4

e5

3

e7

H4 H5

H1 H2 H5

H1 H4 H5

Рис. 3.10.

Пр и м ер 8 . На рис. 3.11 показаны диаграммы графа G и трех его

подграфов H1 , H2 ,

H3 , образующих в совокупности дизъюнктное

разбиение G .

a1

e1

a2

a4

a7

a1

e1

a2

e

2

e4

e6

e

2

a3

a3

a5

e5

a6

a8

G

H1

a4

a7

e4

e6

a5

e5

a6

a8

H2

H3

Рис. 3.11.

Назовем

декартовым

произведением графов

G1 V1 , E1

и

G2 V2 , E2

граф

G1 G2 ,

вершинами

которого

являются

упорядоченные пары

вида

(v, u) ,

где v V1 ,

u V2 , и

в

котором

вершины (v1 , u1 ) и

(v2 , u2 ) смежные в точности в одном из двух

случаев: 1) v1

и v2

- смежные вершины в графе G1 , а u1 u2 ; 2) u1

и

u2 - смежные вершины в графе G2 , а v1 v2 .

Пр и м ер 9 . Пусть G1

- граф с вершинами a

и b

и ребром

e ab ,

а G2

- граф с

вершинами p , q , r

и ребрами

e1 pq ,

e2 qr . На рис. 3.12 показаны диаграммы графов G1 ,

G2 и G1 G2 .

(a,p)

(a,q)

(a,r)

a

b

p

q

r

(b,p)

(b,q)

(b,r)

G1

G2

G1 G2

Рис. 3.12.

полученного из G удалением ребра e4 .

e

a2

e

a

e

a2

e3

4

2

1

a4

e1

4

a4

e1

e3

a4

a1

e

a3

a

a1

e

a3

2

1

2

G

G a3

G e4

Рис. 3.13.

Задачи повышенной сложности

3.3.

Пусть

G

-

полный

граф

с

множеством

вершин

V v1, v2 ,..., vn .

а) Сколько у графа

G подграфов с тем же множеством вершин,

что и у графа G ?

б) Сколько у графа G всего подграфов?

3.4. Доказать, что если графы G1

и G2

изоморфны и одно из ребер

графа G1

есть петля, то одно из ребер графа G2

также является петлей.

3.5.

Доказать,

что если графы G1

и G2

изоморфны и

:VG1 VG2

-

взаимно-однозначное

отображение

в этом

изоморфизме, то для любой вершины

a

графа

G1 выполняется

равенство deg a deg a .

вершинами 0 и 1 и ребром

01 ; тогда для любого натурального n 2

Bn Bn 1 B1 . Найти число вершин и ребер графа Bn .

3.8. Пусть G (V , E)

- обыкновенный граф, A(G)

ai, j

-

вершин v1 , v2 , …,

vn . Выразить через число вершин, ребер или

степени вершин следующие суммы:

n

n

n

а) ai, j ;

б) ai, j .

i 1

i 1

j 1