Лекции Олейник PDF / Р_3_1

Глава 3. Теория графов

§ 3.1. Основные определения

Граф, его вершины и ребра. Смежные вершины. Кратные ребра, петли. Инцидентные вершины и ребра. Степени вершин. Висячие и изолированные вершины. Лемма о рукопожатиях. Диаграмма графа. Изоморфные графы. Специальные виды графов: обыкновенные, полные, двудольные, полные двудольные графы. Матрица смежности и матрица инцидентности. Подграф. Операции над графами: объединение, пересечение, декартово произведение.

Базовые понятия и утверждения

1. Общие понятия. Различают два вида графов - неориентированные и ориентированные. Знакомство с теорией графов мы начнем с изучения графов первого вида.

Определение. Пусть V - конечное непустое множество, E - конечное множество, состоящее из поименованных неупорядоченных пар элементов множества V , причем это могут быть пары из одинаковых элементов и одинаковые пары с разными именами. Совокупность множеств V и E называют графом (или

неориентированным графом) и обозначают

Элементы множества V называют вершинами, а элементы множества E - ребрами.

Граф может вовсе не иметь ребер. Такой граф называют нулевым.

v j , то пишут e vi v j .

Обычно графы представляют диаграммами. Каждой вершине графа vi ставят в соответствие свою точку плоскости или пространства,

которую помечают тем же символом, что и вершину vi , а каждому

113

соединены ребром, их называют смежными вершинами. Если ребра имеют общую концевую вершину, то их называют смежными ребрами.

Если vi - конец ребра e , то ребро e и вершину vi называют инцидентными. Если e1 vi v j и e2 vi v j , то ребра e1 и e2 называют

кратными. Ребро вида e vi vi называют петлей.

Граф без петель и кратных ребер называется обыкновенным.

Число ребер, инцидентных вершине vi (петля учитывается дважды), называют степенью вершины и обозначают deg vi . Если deg vi 0 , то вершину vi называют изолированной, а если deg vi 1,

то - висячей. Ребро, инцидентное висячей вершине, также называют

висячим.

Указать смежные вершины, для каждой вершины перечислить инцидентные ей ребра, определить степени вершин, перечислить изолированные и висячие вершины (если они есть). Перечислить висячие ребра, кратные ребра и петли (если они есть).

Лемма (о рукопожатиях). Для любого графа G (V , E) сумма степеней вершин равна удвоенному числу ребер:

deg v 2 E .

v V

Доказательство. При подсчете суммы степеней вершин произвольное ребро e v1v2 внесет вклад, равный 1, как в степень

вершины v1 , так и в степень вершины v2 , т.е. будет учтено в сумме

дважды. ■ Пр и м ер 2 . Выяснить, существует ли граф со следующим набором

◄ а) Предположим, что такой граф G существует. Тогда, согласно утверждению леммы о рукопожатиях, сумма степеней его вершин равна

удвоенному числу ребер, т.е. 1 2 2 2 3 4 5 2 E , откуда

E 9, 5 . Но это невозможно, так как число ребер не может быть

дробным. Полученное противоречие показывает, что предположение о существовании графа с указанным набором степеней вершин было

115

удовлетворяют условию, описанному в определении изоморфных графов.

Графы G3 и G4 неизоморфны графам G1 и G2 , поскольку в каждом из них есть кратные ребра, а в графах G1 и G2 кратных ребер нет. Друг другу графы G3 и G4 также неизоморфны, так как в графе G3 каждые две вершины смежные, а в графе G4 есть несмежные

вершины.

Еще одним примером неизоморфных графов служат графы, изображенные на рис. 3.3 и 3.4. Действительно, в графе на рис. 3.3 все вершины степени 1 инцидентны вершинам степени 3, а в графе на рис. 3.4 это не так. Этот пример показывает, что набор степеней вершин не определяет граф однозначно даже с точностью до изоморфизма.

Для доказательства того, что графы изоморфны, достаточно указать отображения и , удовлетворяющие условию, описанному в

определении. Чтобы доказать, что графы неизоморфны, достаточно найти какое-нибудь свойство, которым обладает один граф и не обладает другой, и которое у изоморфных графов должно быть общим.

Упр а жн е н ие 3 . 3 . Выяснить, какие из графов, представленных на рис. 3.6 своими диаграммами, изоморфны между собой.

117

Рассмотрим на множестве графов бинарное отношение, состоящее из всех пар изоморфных графов. Назовем это бинарное отношение отношением изоморфизма и обозначим ( т аким образом, запись

G1 G2 будет означать, что графы G1 и G2 изоморфны).

Отношение изоморфизма рефлексивно, симметрично и транзитивно и, значит, является отношением эквивалентности. Следовательно, оно разбивает множество всех графов на классы эквивалентности так, что графы одного класса попарно изоморфны, а графы разных классов не изоморфны. В дальнейшем, если не оговорено иное, графы рассматриваются с точностью до изоморфизма, т.е. объектом изучения являются не отдельные графы, а классы эквивалентности по отношению изоморфизма (эти классы называют абстрактными графами).

Каждый класс эквивалентности по отношению изоморфизма можно задать диаграммой, не указывая на ней имена вершин и ребер.

Упр а жн е н ие 3 . 4 . Найти все (с точностью до изоморфизма) обыкновенные графы с тремя вершинами.

3. Виды графов. Обыкновенный граф называется полным, если любые две его вершины смежные. Все полные графы с n вершинами изоморфны друг другу и образуют класс эквивалентности по отношению изоморфизма. Для этого класса, т.е. для полного

абстрактного графа с n вершинами, применяется обозначение Kn .

На рис. 3.7 в качестве примера приведены диаграммы графов K3 ,

K4 , K5 .

118

непересекающихся подмножества (доли), так что концы каждого ребра графа принадлежат разным долям.

Двудольный граф называется полным двудольным графом, если любые две его вершины, принадлежащие разным долям, смежные.

Все полные двудольные графы с n вершинами в одной доле и m вершинами в другой ( n m ) изоморфны друг другу и образуют класс эквивалентности по отношению изоморфизма. Для этого класса, т.е. для полного двудольного абстрактного графа с n вершинами в одной доле

и m вершинами в другой ( n m ), применяется обозначение Kn,m .

На рис. 3.8 в качестве примера приведены диаграммы графов K2,3

и K3,3 .

119

4. Матрица смежности и матрица инцидентности. Существует несколько способов задания графов. Во-первых, граф можно задать указанием множества вершин и полного списка ребер (это задание «по определению»). Во-вторых, граф можно задать диаграммой. Кроме того,

занумерованы вершины графа. Вообще говоря, для каждого графа имеется несколько матриц смежности. Матрицы смежности графа, соответствующие различным нумерациям вершин, получаются одна из другой с помощью некоторой перестановки строк и аналогичной перестановки столбцов (если строки i и j переставлены, то и столбцы

i и j тоже должны быть переставлены).

Матрица смежности определяет граф с точностью до изоморфизма: графы, имеющие одинаковые матрицы смежности, изоморфны друг другу.

Пр и м ер 4 . Составим матрицу смежности A(G) графа G , представленного диаграммой на рис. 3.1. Вершинам v1 , v2 , v3 дадим номера 1, 2, 3 соответственно. Поскольку в графе три вершины, то

одной из вершин, поэтому первая строка матрицы состоит из нулей.

соединена ребром с v3 , поэтому третий элемент второй строки равен 1. Вершина v3 соединена ребром только с вершиной v2 , поэтому в

третьей строке второй элемент равен 1, а остальные элементы равны 0. Таким образом, у нас получилась матрица

Матрица смежности любого графа симметрична относительно главной диагонали. Сумма элементов ее i -й строки равна степени i -й вершины. Матрица смежности обыкновенного графа состоит из нулей и единиц, причем ее главная диагональ состоит только из нулей.

Помимо вершин занумеруем ребра графа числами от 1 до n .

Определение. Матрицей инцидентности графа G называют матрицу B G размера m n , элементы которой bij определяются следующими условиями:

1)bij 1 , если вершина с номером 1 инцидентна ребру с номером j

иj-е ребро - не петля;

2)bij 0 во всех остальных случаях.

Пр и м ер 5 . Составим матрицу инцидентности B(G) графа G ,

элементы первого столбца равны 1, а первый элемент равен 0. Ребро e2

- петля, поэтому второй столбец состоит из нулей. Таким образом, у нас получилась матрица

121

Вид матрицы инцидентности графа зависит от того, как занумерованы его вершины и ребра. Матрицы инцидентности, соответствующие различным нумерациям вершин и ребер графа, получаются одна из другой с помощью произвольной перестановки строк и произвольной перестановки столбцов.

Если в графе нет петель, то матрица инцидентности, так же как и матрица смежности, определяет граф с точностью до изоморфизма: графы, имеющие одинаковые матрицы инцидентности, изоморфны друг другу. Если в графе есть петли, то восстановить граф по матрице инцидентности однозначно нельзя, поскольку отсутствует указание на

5. Подграфы и операции над ними. Пусть G V , E - граф и

V V , E E . Если подмножества V и E таковы, что концы любого ребра из E принадлежат множеству V , то граф G V , E называется

подграфом графа G .

В число подграфов графа G будем включать пустой подграф и обозначать его .

122