Лекции Олейник PDF / Отв_упр_1

Ответы и указания к упражнениям

Глава 1

(2,1), (2, 2), (2,3), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (4,1), (4, 2), (4,3), (4, 4) -

симметрично. 1.4. 200. Р еше н ие . Чтобы обмен осуществился, Олег должен выбрать одну из своих книг, а Иван - одну из своих. Пара выбранных ими книг определяет обмен, поэтому обмен можно отождествить с выборкой объема 2, первый элемент которой - книга Олега, второй - книга Ивана. Число способов обмена равно количеству таких выборок. Произвольную выборку можно составить в два шага: на первом выбрать одну из десяти книг Олега, на втором - одну из двадцати книг Ивана. Следовательно, по правилу произведения

налево, т.е. на первом шаге выбирать последнюю цифру числа, на втором - предпоследнюю, и т.д. Тогда на первом шаге у нас будет выбор из 4 возможностей, на втором, третьем и четвертом шагах независимо

235

от ранее сделанного выбора - выбор из 8 возможностей. Следовательно, согласно правилу произведения, количество чисел, удовлетворяющих условию, равно 4 8 8 8 2048 . 1.6. а) 12; б) 16. 1.7.

56 4 55 28125 . 1.8. 9 104 9 9 8 7 6 62784 ( 9 104 - число

упорядоченную выборку, элементы которой - номера коробок: первый элемент выборки - номер коробки, в которую помещен первый шар, второй элемент - номер коробки, в которую помещен второй шар, и т.д. В этих упорядоченных выборках элементы не повторяются (так как по условию задачи в каждую коробку можно положить не более одного шара), следовательно, мы имеем дело с размещениями из 9 элементов

по 5. Число таких размещений найдем по формуле A95 9!4! 15120 .

б) Каждому размещению шаров по коробкам сопоставим упорядоченную выборку, элементами которой являются номера коробок: первый элемент выборки - номер коробки, в которую помещен первый шар, второй элемент - номер коробки, в которую помещен второй шар, и т.д. В этих выборках элементы могут повторяться (так как по условию задачи в каждую коробку можно положить сразу несколько шаров), следовательно, мы имеем дело с размещениями с повторениями из 9 элементов по 5. Число таких размещений найдем по формуле

A95 95 . 1.10. Каждое шестибуквенное слово - перестановка из 6 элементов, следовательно, разных шестибуквенных слов столько,

сколько перестановок из 6 элементов, т.е. 6!. 1.11. а) 6! 2 ; б) 2 6! 2 .

1.12. а ) 28 ; б) 56 . 1.13. а) C108 45 ; б) C104 210 ; в) C108 24310 ; г)

C108 C98 11440 . 1.14. 42375200. Р ешен и е . Выбор председателя,

секретаря и трех членов счетной комиссии можно осуществить за три шага. На первом выбрать председателя, на втором - секретаря, на третьем - членов счетной комиссии. На первом шаге имеем 50 возможностей, на втором - 49, на третьем - возможностей столько же, сколько неупорядоченных выборок без повторений трех человек из 48,

т.е. C483 . Следовательно, по правилу произведения выбор председателя,

236

секретаря и трех членов счетной комиссии можно осуществить

50 49 C483 42375200 способами.

Глава 2

2 . 1 . 1 6 . У каз ан и е . Вектор, одинаково читающийся слева направо и справа налево, однозначно определяется первой половиной своих координат. Первые четыре его координаты можно выбрать

Переменная y - фиктивная, переменные x , z - существенные. Ч тобы удалить фиктивную переменную y , нужно вычеркнуть из таблицы

истинности функции 2-ой столбец и 3-, 4-, 7-, 8-ю строки (если не считать строку заголовков). В результате получим таблицу истинности функции g(x, z) (0111) . б) Переменные x, z - фиктивные, y -

существенная. После удаления фиктивных переменных получим

f , дополнив ее для наглядности

столбцом номеров булевых векторов (табл. 1). Сначала выясним, какие из аргументов функции f фиктивные. Чтобы выяснить, является

переменная x фиктивной или существенной, нужно сравнить значения функции на парах векторов, отличающихся лишь значениями переменной x . Такие пары образуют векторы с номерами 0 и 8, 1 и 9, 2

и10, …, 7 и 15. Так как сравниваемые значения одинаковы, переменная

x- фиктивная. Теперь сравним значения функции на парах векторов,

существенная. Сравним значения функции на парах векторов,

переменная. И, наконец, сравним значения функции на парах векторов, отличающихся лишь значениями переменной t (они имеют номера 0 и 1, 2 и 3, 4 и 5, …, 14 и 15). Поскольку сравниваемые значения

аргументов. Заметим, что можно было действовать в другом порядке: определив, что переменная x фиктивная, удалить ее и далее рассматривать функцию, полученную в результате удаления x .

2.10. Переменная x2 - существенная, а переменные x1 , x3 - фиктивные.

Реше н ие . f (x1x2 x3 x1x2 x3 ) (x1x2 x3 x1x2 x3 )

x1x2 (x3 x3 ) x1x2 (x3 x3 ) x1x2 1 x1x2 1 x2 (x1 x1) x2 .

238

x y * (0110)* (1001) x y, x y * (1001)* (0110) x y,

x y * (1110)* ((1000) x y , x y * (1000)* (1110) x y .

2.13. а) f * x y z x y z ; б) f * x y 1 x y .

2.14.f * 1010 0101 z x x 1 .

2.15.f x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3 x1x2 x3 .

2.16.f x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 .

2.17.Переменная x1 может войти в элементарную конъюнкцию,

обращающуюся в единицу на наборе (1, 0, 0) , только сама по себе, а переменные x2 , x3 - обязательно с отрицанием. Последовательно перебрав варианты выбора трех, двух и одной переменной из множества

T0 n T1 n T0 n T1 n T0 n T1 n

239

x1 1 x2 x3 x1x2 x3 1 x2 x3 x1x2 .

2.26.а) 1 x2 x1x2 ; б) 1 x2 x3 x1 x1x3 x1x2 x3 .

принадлежит только T0 . 2.29. а) T1 , f T1 ; б) M , f M ; в) , L , f L . 2.30. а) Полная; б) Неполная. Р еш е ни е .

а) Последовательно заполняем столбцы таблицы Поста данной системы (табл. 3). Поскольку для каждого из классов Поста можно указать функцию системы, ему не принадлежащую, то заключаем, что система полная.

Таблица 3

б) Последовательно заполняем столбцы таблицы Поста данной системы (табл. 4). Поскольку все функции системы лежат в классе монотонных функций, заключаем, что система неполная.

240

б) Имеем два базиса: x y и x y . У каз а н ие . Проанализируйте

таблицу Поста данной системы (табл. 6).

Таблица 6

a1x2a5 x8a2 x3a4 x1a1 ; д) не существует. 3.10. Таких графов всего 6.

3.11. а) две; б) три. 3.12. а) одно; б) одно; в) четыре. 3.14. а) 3; б) 6; в) 2; г) 3. 3.15. а) Рис. 3. 3.16. Рис. 4. 3.18. Имеется 4 остова; на рис. 5

изображены помеченный граф K2,2 и его остовы. 3.19. Например,

минимальным остовом является граф с вершинами v1, v2 ,..., v6 ,

ребрами e1,e2 ,e3,e10 ,e11 и весом 6. 3.20. 001001110001010111.

Рис. 3.

242

Рис. 4.

3.24. а) Планарен. Исходная и плоская укладки графа представлены на рис. 8 (соответствующие вершины помечены одинаковыми буквами).

б) Непланарен. Р еш ен и е . Будем рассуждать от противного. Предположим, что граф планарен. Тогда у него есть укладка на плоскости. Пусть S - множество граней этой укладки и граница i-й

243

графа содержится в некотором цикле и, следовательно, лежит на

укладки графа представлены на рис. 9 (соответствующие вершины помечены одинаковыми числами); б) непланарен.

3 . 26 . Один из эйлеровых циклов задается последовательностью вершин с индексами: 1, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 7, 4, 8, 3, 2, 1. 3 . 27 . Одна из эйлеровых цепей задается последовательностью вершин с индексами: 2,

4, 6, 5, 4, 3, 5, 1, 3, 7, 4, 8, 7, 1, 8, 2, 1. 3 . 28 . а ) Один из гамильтоновых циклов задается последовательностью вершин с индексами: 1, 2, 3, 4, 5, 1 (рис. 10); б ) один из гамильтоновых циклов задается последовательностью вершин с индексами: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1 (рис. 11).

б) 5; в) 2; г) 2; д) 3. 3.32. Рис. 12.

244