Лекции Олейник PDF / Р_2_3

III

x1x3 x4 x1x2 x4 x1x2 x3 x1x3 x4 x2 x3 x4 x2 x3 x4

конъюнкций 4-го ранга поглощена какой-то из конъюнкций 3-го ранга. Переход III: операция неполного склеивания применена к парам

конъюнкций 8 и 12, 9 и 10.

Переход IV: применена операция поглощения и убраны

h x2 x3 x4 x1x2 x4 x1x2 x3 x3x4 .

2 - й э та п . Введем обозначения для простых импликант функции:

K4 K4 K1 K4 K2 K4 K2 K3 K1 K3

K4 K1 K2 K4 K2 K3 K1 K3 K4 K1 K2 K1 K3

K1K2 K4 K1K3K4 .

78

Таким образом, имеем две тупиковые ДНФ, реализующие функцию h :

K1 K2 K4 x2 x3 x4 x1x2 x4 x3 x4

и

K1 K3 K4 x2 x3 x4 x1x2 x3 x3 x4 .

3 - й э та п . Т упиковые ДНФ функции h имеют одинаковую сложность (равную 8), и, следовательно, обе являются минимальными.

►

Упр а жн е н ие 2 . 1 9 . Построить минимальные ДНФ функции:

а) f (11011001) ;

б) h (111100010000 0011) .

Теоретические обоснования

Докажем некоторые утверждения, упомянутые в первой части

функция равна 1. Тогда найдется входящая в СДНФ функции элементарная конъюнкция, которая на этом наборе также равна 1. Значит, эта элементарная конъюнкция - импликанта функции. Удалением части букв из этой импликанты можно получить простую

обратится в 1.

С другой стороны, если сокращенная ДНФ функции обращается на некотором наборе 1 , 2 ,..., n в 1, то хотя бы одна из образующих

ее простых импликант на этом наборе также равна 1. А если импликанта на наборе равна 1, то и функция на этом же наборе равна 1,

т.е. f 1 , 2 ,..., n 1.

79

Таким образом, на всяком наборе, на котором функция равна 1, ее сокращенная ДНФ равна 1. И, наоборот, на всяком наборе, на котором сокращенная ДНФ функции равна 1, функция также равна 1. Это

D элементарные конъюнкции являются импликантами f .

Надо доказать, что они простые. Будем рассуждать от противного. Предположим, что в D входит импликанта K , не являющаяся простой.

1, то хотя бы одна из образующих ее импликант на этом наборе также равна 1, а значит, и f 1 , 2 ,..., n 1.

Таким образом, D содержит меньшее число букв, чем D , и при этом реализует функцию f , что противоречит предположению о

минимальности исходной ДНФ. ■

Теорема 2.8. Минимальная ДНФ функции является тупиковой ДНФ.

Доказательство. Будем рассуждать от противного. Предположим, что найдется минимальная ДНФ, которая не является тупиковой. Тогда из этой ДНФ можно удалить хотя бы одну простую импликанту так,

80

чтобы образовавшаяся при этом новая ДНФ по-прежнему реализовала функцию. Но эта новая ДНФ будет иметь меньшую сложность, чем исходная минимальная ДНФ. А это противоречит тому, что сложность минимальной ДНФ наименьшая из возможных. ■

Задачи повышенной сложности

2.13. Найти число элементарных конъюнкций ранга r над множеством x1, x2 ,..., xn , обращающихся в единицу на наборе

1 , 2 ,..., n .

2.14.Найти число всех элементарных конъюнкций над множествомx1, x2 ,..., xn , обращающихся в единицу на наборе 1 , 2 ,..., n .

2.15.Подсчитать число функций от n переменных, для которых данная элементарная конъюнкция ранга r является импликантой.

x1 x2 ... xn .

2.18. Показать, что xi является существенной переменной тогда и

только тогда, когда эта переменная явно входит в сокращенную ДНФ функции.

81