Лекции Олейник PDF / Р_3_6

§ 3.6. Раскраска графов

Раскраска графа. k -раскрашиваемый граф. k -хроматический граф. Хроматическое число графа.

Базовые понятия и утверждения

смежных вершин a и b выполняется условие p(a) p(b) .

Если раскраска графа задана, то говорят, что вершина a имеет цвет p(a) .

Отметим, что здесь не предполагается, что p отображает V на все множество красок c1 , c2 ,..., ck (т.е. какие-то краски могут оказаться неиспользованными).

Приведем ряд утверждений о хроматических числах графов:

1)1-хроматические графы - это нулевые графы и только они;

2)2-хроматические графы - это ненулевые двудольные графы и только они (заметим, что 2-хроматические графы также называют бихроматическими);

171

3)ненулевой обыкновенный граф является бихроматическим тогда и только тогда, когда не содержит циклов нечетной длины;

4)любой планарный граф можно раскрасить не более чем в четыре цвета.

Заметим, что из утверждения 2 следует, что любое неодноэлементное дерево является бихроматическим графом.

Упр а жн е н ие 3 . 3 0 . Построить обыкновенный плоский граф с минимальным числом вершин, хроматическое число которого равно 4.

Упр а жн е н ие 3 . 3 1 . Для следующих графов найти хроматические числа и привести пример раскраски графов в соответствующее число цветов:

Теоретические обоснования

Теорема 3.10 (критерий бихроматичности). Пусть G -

ненулевой обыкновенный граф. Тогда следующие условия эквивалентны:

1)граф G бихроматический;

2)граф G не имеет циклов нечетной длины;

3)граф G - двудольный.

Доказательство. Доказательство проведем по следующей схеме:

1 2 3 1.

1 2 . Будем рассуждать от противного. Предположим, что граф

раскраску графа в два цвета. Так как концы каждого ребра графа имеют разный цвет, то вершины цикла C , совпадающие с членами

последовательности vi 2m 1 с нечетными номерами, окрашены в один i 1

цвет. Следовательно, вершины v1 и v2m 1 , а значит v1 и v0 окрашены

одинаково, что невозможно, поскольку эти вершины смежные. Пришли к противоречию, следовательно, наше предположение было неверным.

2 3. Вначале докажем справедливость этого утверждения для связного графа.

172

Пусть G - ненулевой обыкновенный связный граф, не имеющий циклов нечетной длины. Зафиксируем некоторую вершину a графа и

разобьем множество V вершин графа G на два непересекающихся

может быть внутренним ребром ни одной из этих цепей, так как в этом случае цепи и не могут быть кратчайшими; ребро e не может

быть последним ребром ни одной из цепей, так как в этом случае длины цепей отличаются на единицу и, значит, не могут иметь одну четность).

цепь dec , получаем цикл нечетной длины, что противоречит условию. Таким образом, мы разбили множество вершин графа G на два

непустых, непересекающихся подмножества (доли) так, что концы любого ребра принадлежат разным долям. Следовательно, граф G - двудольный.

173

Пусть теперь граф G - ненулевой обыкновенный несвязный граф, не имеющий циклов нечетной длины. Так как граф ненулевой, то среди его компонент связности есть неодноэлементные, причем, как показано выше, каждая неодноэлементная компонента - двудольный граф. Разобьем множество вершин графа G на два подмножества. В одно подмножество включим вершины одной из долей каждой двудольной компоненты связности, в другое - все остальные вершины графа (включая вершины одноэлементных компонент связности). Тем самым множество вершин графа G окажется разбитым на два непустых, непересекающихся подмножества (доли) так, что концы любого ребра принадлежат разным долям. Следовательно, граф G - двудольный.

3 1. Пусть G - ненулевой двудольный граф. Покрасим вершины одной доли одним цветом, а вершины другой - другим. Получим раскраску графа в два цвета. Поскольку граф ненулевой, т.е. имеет хотя бы одно ребро, то он не может быть раскрашен в один цвет. Таким образом, граф G бихроматический. ■

Задачи повышенной сложности

3.32.Доказать, что изоморфные графы имеют одинаковые хроматические числа.

3.33.Найти хроматическое число графа:

а) Kn,m ; б) Kn ; в) Bn .

3.34. Граф называется критическим, если удаление любой из его вершин (вместе с инцидентными ей ребрами) приводит к графу с меньшим хроматическим числом. Показать, что:

а) полный граф Kn является критическим для всех

б) граф Cn (цикл с n вершинами) является критическим тогда и

только тогда, когда n нечетно.

3.35. Доказать, что для любого натурального p найдется

обыкновенный бихроматический граф с 2 p вершинами и p2 ребрами. 3.36. Описать обыкновенный граф с p вершинами, имеющий

среди всех таких графов наибольшее число ребер.

174