Лекции Олейник PDF / Р_2_4

f 0,1,0 1 P 0,1,0 1 1 0 a2 1 a3 1 0

a4 0 a5 0 0 a6 0 1 a7 0 1 0 a2 0 ;

f 0,1,1 1 P 0,1,1 1 1 1 0 1 a3 1 1

a4 0 a5 0 1 a6 0 1 a7 0 1 1 a3 1; f 1,0,0 0 P 1,0,0 1 1 0 0 0 1 0 0

a4 1 a5 1 0 a6 1 0 a7 1 0 0 a4 1; f 1,0,1 1 P 1,0,1 1 1 1 0 0 1 0 1

1 1 a5 1 1 a6 1 0 a7 1 0 1 a5 0 ; f 1,1,0 1 P 1,1,0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1

0 1 0 a6 1 1 a7 1 1 0 a6 1; f 1,1,1 1 P 1,1,1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 a7 1 1 1 a7 0 .

Теперь, когда коэффициенты найдены, запишем полином Жегалкина:

f x1, x2 , x3 1 1 x3 0 x2 1 x2 x3

1 x1 0 x1x3 1 x1x2 0 x1x2 x3 .

Упростив запись, получим

f x1, x2 , x3 1 x3 x2 x3 x1 x1x2 . ►

полином Жегалкина имеет степень 0 или 1.

Иначе говоря, функция линейна, если ее можно представить формулой вида f b0 b1x1 b2 x2 ... bn xn .

Обозначим через L множество всех линейных булевых функций, через L(n) - множество линейных функций от n переменных.

Пр и м ер 1 0 . а ) Все функции одной переменной 0,1, x, x x 1 линейные.

93

линейными не являются. Функции x y , x y x y x y 1

линейные.

Упр а жн е н ие 2 . 2 7 . Задать полиномами Жегалкина все линейные функции от двух переменных.

Множества функций T0 , T1 , S , M , L называют классами

Поста.

Пр и м ер 1 1 . Определить, каким из классов Поста принадлежит функция f x, y, z x y z x .

◄ Выпишем таблицу истинности функции f (табл. 2.28).

Чтобы определить, линейна ли функция, найдем ее полином Жегалкина методом элементарных преобразований. Выпишем СДНФ функции и упростим ее:

f xyz xyz xyz xyz xy z z xz y y xy xzxy xz (x 1) y xz xy y xz .

94

Поскольку в полиноме Жегалкина есть произведения переменных, то f L . ►

Упр а жн е н ие 2 . 2 8 . Определить, каким из классов Поста принадлежит функция f x, y, z x y z y .

5. Замыкание системы булевых функций. Замыкание B

системы булевых функций B - это множество всех функций, которые можно задать формулами над B .

Заметим что термин «система» используется в дискретной

представима в виде полинома Жегалкина.

Определение. Система функций B называется замкнутой, если

B B .

Классы Поста T0 , T1 , S , M , L являются замкнутыми

множествами.

Из этого утверждения (его доказательство приведено во второй части параграфа) вытекает, что если функции f1, f2 ,..., fk принадлежат

некоторому классу Поста, то любая функция, записанная формулой с использованием только функций этого класса, также будет принадлежать данному классу Поста.

Пр и м ер 1 3 . а) Функция монотонная,

поскольку она представлена исключительно через дизъюнкцию и конъюнкцию, а эти две функции - монотонные.

б) Функция линейная, поскольку она представлена

через линейные функции - отрицание, сложение по модулю два и эквивалентность.

95

В то же время функцию, не принадлежащую какому-нибудь классу Поста, нельзя представить формулой только через функции, входящие в этот класс.

Пр и м ер 1 4 . Доказать, что функцию f (1001) нельзя задать формулой над множеством B .

◄ Конъюнкция принадлежит к классу T0 . Класс T0 является

замкнутым множеством, следовательно, любая функция, заданная формулой над его функциями, сохраняет 0. Функция f (1001) этим

свойством не обладает, значит, ее нельзя задать формулой только через конъюнкцию. ►

Упр а жн е н ие 2 . 2 9 . Доказать, что функцию f нельзя задать формулой над множеством B , если:

а) f (1100) , B ;

б) f (01111101) , B ;

в) f xy 1, B , .

Теоретические обоснования

Теорема 2.10. Замыкание обладает следующими свойствами:

1)B B ;

2)B B ;

3)B1 B2 B1 B2 ;

4)B1 B2 B1 B2 .

Доказательство. Справедливость утверждения (1) непосредственно следует из определения замыкания, поскольку всякая функция реализуется формулой в виде символической записи самой функции.

Справедливость утверждения (2) вытекает из индуктивного определения формулы: всякая функция из B задается некоторой

формулой над B , а тогда всякая функция из B , которая задается

формулой над B , задается также некоторой формулой над B .

96

Утверждение (3) очевидно, поскольку, если B1 подмножество B2 , то любая формула над B1 является также формулой над B2 .

Теорема 2.11. Классы Поста T0 , T1 , S , M , L являются

замкнутыми множествами.

Доказательство. Надо доказать, что классы Поста совпадают со своими замыканиями. Для этого нужно доказать два утверждения: 1) каждый класс Поста принадлежит своему замыканию и 2) замыкание каждого класса Поста принадлежит самому классу.

Справедливость первого утверждения непосредственно вытекает из первого свойства замыкания.

Второе утверждение сводится к тому, что любая функция, заданная формулой через функции класса Поста, также принадлежит этому классу. Справедливость этого утверждения несложно установить индукцией по построению формул.

Баз ис и н д ук ц и и . Тождественная функция принадлежит всем классам Поста, значит, когда формула есть переменная, утверждение

F(0,0,...,0) f f1 0,0,...,0 , f2 0,0,...,0 ,..., fn 0,0,...,0

fi T0 f 0, 0,..., 0 f T0 0 .

3. Покажем, что функция F f ( f1, f2 ,..., fn ) S , если f , f1, f2 ,..., fn S :

f ( f1 , f2 ,..., fn ) f ( f1, f2 ,..., fn ) F .

4. Покажем, что функция F f ( f1, f2 ,..., fn ) M , если f , f1, f2 ,..., fn M .

Возьмем два произвольных набора и значений переменных таких, что . Тогда в силу монотонности функций f1, f2 ,..., fn

имеем:

1 f1 f1 1 ;2 f2 f2 2 ;

……………………………

n fn fn n .

монотонности f

f 1, 2 ,..., n f 1, 2 ,..., n .

Или

f f1 , f2 ,..., fn f f1 , f2 ,..., fn .

Таким образом, для любых наборов и таких что ,

выполняется неравенство F F , что и требовалось доказать.

5. Покажем что функция F f ( f1, f2 ,..., fn ) L , если

f , f1, f2 ,..., fn L .

Пусть

98

переменных: x f x, x,..., x . Определить x , если:

99

несамодвойственная.

2.23. Доказать, что функция, двойственная к монотонной функции, монотонна.

2.24. Доказать, что функция, двойственная к линейной функции, линейна.

2.25.Доказать, что пересечение замкнутых классов - замкнутый

класс.

2.26.Является ли объединение замкнутых классов замкнутым

классом?

2.27.Доказать, что совокупность функций, двойственных к функциям из функционально замкнутого класса, образует функционально замкнутый класс.

2.28.Назовем булеву функцию f монотонно невозрастающей,

булевой функции, заданной формулой над множеством монотонно невозрастающих функций, которая не является монотонно невозрастающей.

Замечание. Задача 2.28 объясняет, почему в теории булевых функций не рассматривают монотонно невозрастающие функции. Дело в том, что интерес представляют свойства функций, которые «наследуются» при задании функций формулами, т.е. такие свойства, которые выделяют обладающие ими функции в замкнутый класс. Множество монотонно невозрастающих функций замкнутым не является.

2.29.Дана произвольная несамодвойственная функция. Отождествить ее переменные так, чтобы получилась несамодвойственная функция от возможно меньшего числа переменных.

2.30.Дана произвольная немонотонная функция. Отождествить ее переменные так, чтобы получилась немонотонная функция от возможно меньшего числа переменных.

2.31.Доказать, что для монотонных функций справедливо

разложение f (x1, x2 ..., xn ) xn f (x1,..., xn 1,1) f (x1,..., xn 1, 0) .

100

2.32. Показать, что xi является существенной переменной тогда и только тогда, когда xi явно входит в полином Жегалкина функции.

2.33. Найти число линейных функций от n переменных, существенно зависящих ровно от k переменных.

101