Лекции Олейник PDF / Р_3_9

Ориентированный граф G (V ,U )

называют взвешенным, если на

множестве его дуг задано отображение

:U R , т.е. каждой дуге

u (a, b) приписано действительное число (u) , называемое весом,

прилагательное «ориентированный» будем опускать.

Ограничимся случаем неотрицательных весов.

Пусть на графе G

имеется путь P

из вершины a в вершину b

и

u1, u2 ,..., uk -

k

последовательность дуг этого пути. Число P

ui называется

i 1

весом, или длиной пути P .

Наименьшую из длин путей из вершины a в вершину b назовем

расстоянием от a

до b , а тот путь из a в b , длина которого равна

s вершину: это сама вершина s , для нее d(s) 0 .

k - й

ша г . Пусть к

началу

шага

определены

k вершин,

ближайшие

к вершине

s ,

т.е.

определено

множество

расстояния

d (vi ) , i 1, 2,..., k (эти расстояния удобно рассматривать

как постоянные метки вершин из Sk ). Обозначим через Fk

множество

V \ Sk .

Если

множество Fk

пусто, то все возможные расстояния от

вершины s

до остальных вершин определены до k -го шага.

В противном случае

для каждой вершины w Fk

определим

временную метку

Dk

vk 1 min Dk w

w Fk

определится вершина

vk 1 , ближайшая к s из вершин подмножества

Fk , причем

d (vk 1 ) Dk vk 1

(вершина vk 1 получает

при этом

постоянную

метку - расстояние

d vk 1 ).

Таким образом,

по окончании

k -го шага множество вершин, до

которых от вершины

s

вычислено расстояние,

расширяется на один

Для вершины

w среди всех вершин v , для которых существует дуга,

ведущая

из v

в w , находится такая дуга, для

которой выполнено

условие

d w d v c v, w . Тем самым

восстанавливается

a

2

d

1

1

b

s

3

1

1

1

c

3

p

Рис. 3.80.

k

Sk

Dk (s)

Dk (a)

Dk (b)

Dk (c)

Dk (d )

Dk ( p)

0

0

1

s

1

3

1

2

s, a

2

1

3

s, a, c

2

4

4

s, a, c, b

3

5

s, a, c, b, p

4

Расстояние от вершины

s

до a

равно 1, от s

до b равно 2, от s

до c равно 1, от s

до d

равно 4, от s

до

p равно 3.

Кратчайший

путь

от

вершины

s

до

вершины

d

проходит

последовательно через вершины s, a, b, p, d . ►

Упр а жн е н ие 3 . 3 5 .

В сети, изображенной на рис. 3.81, найти

расстояние от вершины

s

до остальных вершин и указать кратчайший

путь от вершины s

до вершины q .

Упр а жн е н ие 3 . 3 6 .

В сети, изображенной на рис. 3.82, найти

расстояние от вершины

s

до остальных вершин и указать кратчайший

путь от вершины s

до вершины t .

a

2

q

a

4

q

3

t

5

7

4

5

3

1

1

2

s

3

c

t

s

4

1

1

1

1 b

2

2

2

4

2

5

4

r

b

3

p

c

3

Рис. 3.81.

Рис. 3.82.

из путей из

вершины

s

в вершину vk 1 , то

достаточно

доказать

неравенство

Dk vk 1 P .

Среди всех вершин пути

P выберем

вершину w j

с наименьшим номером среди тех,

которые не входят в

множество Sk .

Так как начальная вершина пути

P входит в

Sk ,

а

конечная не входит в Sk ,

то такой номер j найдется. Итак,

wj 1 Sk ,

wj Fk . Тогда

из

определения

Dk w

и длины

пути

вытекают

соотношения

Dk wj d wj 1 c wj 1 , wj

c w0 , w1 ... c wj 1, wj P .

Кроме

того,

в

силу

выбора

вершины

vk 1

имеем, что

Dk vk 1 Dk

wj .

С

учетом

этих

неравенств

получаем,

что

Dk vk 1 P . Следовательно,

d (vk 1 ) Dk vk 1 .

Осталось

убедиться,

что вершина vk 1

является

(k 1) -й

ближайшей к

s

вершиной. Для этого достаточно доказать неравенство

d(vk 1) d w

для

всех

w Fk .

Зафиксируем

одну

из

вершин

w F . Обозначим

через

P

кратчайший путь

из

вершины

s

в

k

1

вершину vk 1 , а через P2

- кратчайший путь из вершины s

в вершину

w . Тогда P

d v

и

P

d w . Выше доказано равенство

1

k 1

2

d (vk 1 ) Dk vk 1 .

Повторим

для

пути

P2

рассуждения,

приведенные

в

первой части обоснования для пути

P .

Среди всех

вершин пути

P2

выберем вершину w j с наименьшим номером среди

тех, которые не входят в множество

Sk . Имеем:

wj 1 Sk ,

wj Fk .

Тогда

Dk wj d wj 1 c wj 1 , wj

Кроме

того,

в

силу

выбора

вершины

vk 1

имеем, что

Dk vk 1 Dk wj . Следовательно,

k

j

2

1

k 1

k

k 1

P

d (v

) D v

D

w

d

w

P

,