Лекции Олейник PDF / Р_3_2

§ 3.2. Достижимость и компоненты связности, циклы и мосты, цикломатическое число

Пути, цепи, циклы на графе. Отношение достижимости (связности). Компоненты связности графа. Число связности. Связный граф. Мост. Цикломатическое число.

Базовые понятия и утверждения

соответственно началом и концом пути.

Кроме того, каждую вершину считают путем длины нуль. Если v0 vk , то путь называется замкнутым.

Заметим, что в обыкновенном графе путь полностью определяется последовательностью v0 , v1,..., vk своих вершин.

В произвольном пути любое ребро и любая вершина могут повторяться. Накладывая ограничения на число повторений вершин и ребер, приходим к следующим частным видам путей.

Цепь - это путь без повторяющихся ребер. Цепь, соединяющую вершину v0 с вершиной vk , обозначают zv0vk .

Цепь называется простой, если в ней нет повторяющихся вершин, за исключением, быть может, совпадающих концевых.

Замкнутая цепь ненулевой длины называется циклом. Замкнутая простая цепь называется простым циклом.

128

рассуждать от противного. Пусть в нашем пути имеется повторяющаяся вершина c . Тогда, заменив часть пути от первого вхождения вершины c до ее второго вхождения на одну вершину c , мы получим более короткий путь из a в b . Получили противоречие. ■

Упр а жн е н ие 3 . 9 . На графе G1 из упр. 3.3 найти:

а) путь длины 7, не являющийся цепью; б) цепь длины 5, не являющуюся простой; в) цикл, не являющийся простым; г) простой цикл четной длины; д) простой цикл нечетной длины.

2. Достижимость и компоненты связности графа. На множестве вершин графа G введем бинарное отношение - отношение достижимости (связности) (~), образованное всеми теми парами вершин (a, b) , для которых на графе есть путь из a в b . Таким

образом, запись a b будет означать, что на графе G есть путь из a в b .

Поскольку мы договорились считать каждую вершину графа a путем длины 0 из a в a , то для любой вершины a можно утверждать, что a a . Это означает, что отношение достижимости рефлексивно.

129

Очевидно, что если на графе G есть путь из вершины a в вершину b , то есть и путь из b в a , т.е. если a b , то и b a .

Значит, отношение достижимости симметрично.

Несложно показать, что отношение достижимости является также

симметрично и транзитивно, и, значит, является отношением эквивалентности.

Пусть a - произвольная вершина графа G V , E . Обозначим через a ~ класс эквивалентности вершины a по отношению

достижимости, т.е. a ~ b V a ~ b .

Классы эквивалентности по отношению достижимости обладают рядом свойств, присущих классам эквивалентности любого бинарного отношения (см. теорему 1.1), а именно:

1)класс эквивалентности любой вершины по отношению достижимости - непустое множество;

2)классы эквивалентности любых двух вершин по отношению достижимости либо не пересекаются, либо совпадают;

3)объединение классов эквивалентности всех вершин графа по отношению достижимости совпадает с самим множеством вершин графа.

Вследствие перечисленных свойств отношение достижимости,

называют компонентой связности вершины a .

Другими словами, компонента связности вершины a представляет собой подграф графа G с множеством вершин a ~ и множеством

130

ребер, элементами которого являются все те ребра графа G , концы которых лежат в a ~ .

Компоненты связности графа обладают следующими свойствами:

1)каждая компонента связности - непустой подграф;

2)компоненты связности любых двух вершин либо не пересекаются, либо совпадают;

3)объединение компонент связности всех вершин графа совпадает

ссамим графом.

Вследствие перечисленных свойств совокупность всех различных компонент связности графа образует его дизъюнктное разбиение.

Определение. Число различных компонент связности графа G называется числом связности и обозначается k G .

Если k G 1, то граф называется связным. Иными словами, граф связный, если любая пара его вершин соединена путем.

a ~ b ~ c ~ a, b, c , t ~ g ~ t, g , d ~ d .

Таким образом, имеем три различных класса эквивалентности и, соответственно, три компоненты связности:

H1 V1 , E1 , где V1 a, b, c , E1 e1 ab, e2 ac, e3 bc ; H2 V2 , E2 , где V2 t, g , E2 e4 tg ;

131

3. Мосты и циклы графа. Ребро e графа G называется мостом,

если k G k G e .

Напомним, что G e - это граф, получающийся из графа G удалением ребра e (концы ребра e при этом не удаляются).

Пр и м ер 3 . У связного графа G , представленного диаграммой на

рис. 3.16, мостами являются ребра e1 v1v2 , e5 v4v5 , e6 v5v6 . Действительно, при удалении каждого из этих ребер получается граф, число связности которого равно 2, что на единицу больше числа связности графа G .

2) цикломатическое число любого графа равно сумме

k G e k G 1.

Доказательство. Доказательство проведем в два этапа: на первом этапе докажем это утверждение для связных графов, на втором - рассмотрим общий случай.

компонентах связности. Поскольку исходный граф G связен, то на нем существуют пути из a в b и из a

простой цепи, существуют простые цепи zab и

В графе G e вершины a , b и c лежат в разных компонентах связности, следовательно, в нем нет путей, соединяющих a с b и a с

неверным и k G e 2 .

2. Пусть теперь граф G имеет несколько компонент связности. Так как каждое ребро содержится ровно в одной компоненте связности графа G , то при удалении моста e точно одна компонента связности графа, согласно лемме, распадется на две компоненты связности графа G e . Следовательно, при удалении моста e число компонент связности графа G увеличится ровно на единицу. ■

Теорема 3.2 (о мостах и циклах). Ребро графа является мостом тогда и только тогда, когда оно не содержится ни в одном цикле.

Доказательство. Нео б хо д им о с ть . Пусть на графе G ребро e uv - мост. Покажем, что оно не содержится ни в одном цикле. Будем рассуждать от противного. Предположим, что найдется цикл, в

zvu

котором содержится мост e : u e v u . Пусть a и b - произвольная пара связных вершин графа G . Тогда на этом графе найдется простая цепь из a в b . Есть две возможности: 1) эта цепь не содержит ребра e ; 2) эта цепь ребро e содержит. В первом случае при удалении e цепь не нарушается, так что вершины a и b остаются связными. Во втором случае при удалении ребра e цепь нарушается, но есть возможность заменить участок цепи veu (или uev ) на фрагмент (или инвертированный фрагмент) zvu рассматриваемого цикла, в результате

135

чего получится новый путь из a в b , т.е. и в этом случае при удалении ребра e вершины a и b останутся связными. Следовательно, при удалении ребра e число компонент связности графа G не изменится, а это противоречит тому, что e - мост.

До ст ато ч но с ть . Пусть ребро не содержится ни в одном цикле. Надо показать, что оно является мостом. Будем рассуждать от

соединяющая u и v . Склеив эту цепь с ребром e , получим в графе G цикл, содержащий e . Таким образом, пришли к противоречию с условием; следовательно, предположение было неверным и ребро e -

Цикломатическое число любого графа неотрицательно: v G E V k G 0 .

Доказательство. Доказательство проведем по принципу математической индукции, взяв в качестве параметра число ребер графа.

v G 0 выполнено для любого графа, у которого число ребер меньше

E \ e V k G e 0 .

Возможны два случая:

1) удаленное ребро - не мост;

136

В обоих случаях показано, что цикломатическое число графа G неотрицательно. Таким образом, справедливость индуктивного перехода обоснована. ■

Задачи повышенной сложности

3.11. Пусть G (V , E) - обыкновенный граф, A(G) - матрица смежности этого графа, отвечающая некоторой нумерации вершин v1 ,

v2 , …, vn .

а) Доказать, что элемент, стоящий на пересечении i -й строки и

3.12.Доказать, что замкнутый путь нечетной длины содержит простой цикл. Верно ли аналогичное утверждение для замкнутых путей произвольной длины?

3.13.Доказать или опровергнуть следующие утверждения:

а) объединение любых двух различных цепей, соединяющих две вершины, содержит простой цикл;

б) объединение двух различных простых цепей, соединяющих две вершины, содержит простой цикл.

3.14. Граф G (V , E) связен тогда и только тогда, когда для любого разбиения множества V на два подмножества V1 и V2 существует ребро графа G , соединяющее некоторую вершину из V1 с некоторой вершиной из V2 .

137