Лекции Олейник PDF / Р_2_1

опускать скобки в случае многократного последовательного применения только дизъюнкции или только конъюнкции. На пр им ер ,

До сих пор мы доказывали равносильность формул следующим образом: по каждой формуле восстанавливали таблицу функции, после чего полученные таблицы сравнивали. Есть и другой подход - использование равносильных преобразований. Он основан на том, что результат вычисления значения функции по формуле не зависит от того, как получены значения переменных, входящих в формулу (брались они произвольно, как значения независимых переменных, или были получены в результате каких-то вычислений). В частности, равносильности 1 - 19 (см. теорему 2.1) остаются справедливыми при подстановке вместо переменных любых формул. Важно лишь соблюдать следующее правило: при подстановке в равносильность вместо некоторой переменной формулы все вхождения этой переменной в исходное равенство должны быть одновременно

равносильность x y x y ( x заменено на x , а y на y ).

Таким образом, действует принцип: если A - подформула формулы

, то при замене в формуле любого вхождения A на равносильную ей формулу A1 формула переходит в равносильную ей формулу 1 .

Применяя этот принцип, можно находить для заданной формулы равносильные ей формулы, что во многих случаях приводит к упрощению исходной формулы.

Пр и м ер 6 . Применяя равносильные преобразования, упростить формулу:

◄ а) y xyz xyz y xyz xyz

45

y xy z z y xy y x ;1

б) x y x y x y x y

x y x y x x y y x 1 1 . ►

Теоретические обоснования

Есть булевы функции, которые не меняют своих значений при изменении значений некоторых своих переменных. На пр им ер , на

значение функции f3 (см. табл. 2.4) не влияет значение переменной y ,

не влияют на значения функции, называют фиктивными. Определим это понятие строго.

значений переменных x1,..., xi 1, xi 1,..., xn выполняются равенства

f( 1,..., i 1, 0, i 1,... n ) f ( 1,..., i 1,1, i 1,... n ) .

Впротивном случае переменная xi называется существенной, т.е.

значений переменных x1,..., xi 1, xi 1,..., xn , что

f ( 1,..., i 1, 0, i 1,... n ) f ( 1,..., i 1,1, i 1,... n ) .

Чтобы определения фиктивной и существенной переменных легче

f (x, y, z) : переменная y называется фиктивной переменной функции f (x, y, z) , если выполняются четыре равенства: f (0, 0, 0) f (0,1, 0) ,

Фиктивные переменные не влияют на значения функции и с этой точки зрения являются «лишними», поэтому естественно поставить вопрос об их удалении.

Операция удаления (введения) фиктивных переменных. Пусть

Полученная таким образом таблица будет задавать некоторую функцию

функции g говорят, что она получена из функции f путем удаления фиктивной переменной, а о функции f говорят, что она получена из функции g путем введения фиктивной переменной.

Если одну функцию можно получить из другой путем введения или удаления фиктивных аргументов, то они считаются равными.

Пр и м ер 7 . Найти фиктивные переменные функции и удалить их:

◄ а) Для наглядности рассуждений построим таблицу истинности функции (табл. 2.12).

Таблица 2.12

47

таблицы истинности функции второй столбец, а также третью и пятую строки (они закрашены серым цветом). В результате получим таблицу истинности функции g(x) (01) , равной функции f (x, y) (0011) .

значения самой функции.

48

Значение функции f1 (t, x, y) на каждой паре наборов вида

(табл. 2.15), отведя первый столбец под значения переменной x , второй - под значения t , третий - под значения y , четвертый - под значения

(табл. 2.16), отведя первый столбец под значения переменной x , второй - под значения y , третий - под значения t , четвертый - под значения

Упр а жн е н ие 2 . 8 . Из функции g(x, y) (0010) путем введения

f (x, y, z, t) (1100 0011 1100 0011 ).

Удаление фиктивных переменных упрощает дальнейшую работу с функцией. Однако в некоторых случаях фиктивные переменные полезно не удалять, а вводить. Дело в том, что, выполнив такую операцию неоднократно, можно перейти от данной функции к функции, которая ей равна и при этом зависит от любого наперед заданного числа переменных (большего исходного). Благодаря этому, рассматривая одновременно несколько функций, можно считать их зависящими от одного и того же множества переменных (в качестве такого множества можно взять объединение множеств переменных всех этих функций).

Имея в виду вышесказанное, будем в дальнейшем придерживаться следующих договоренностей.

1 . Если число переменных специально не оговаривается, функции рассматриваются с точностью до фиктивных переменных, т.е. предполагается, что с заданием некоторой функции f заданы все

равные ей функции, и для обозначения равных функций используется один и тот же функциональный символ.

2. При рассмотрении любой системы функций будем предполагать (если не оговорено противное), что все функции данной системы зависят от одного числа переменных. Такой подход позволит избежать громоздких рассуждений.

На пр им ер , при желании вместо системы функций f1 (x) (10) , f2 ( y) (11) , f3 (x, y, z) (10011101) можно рассматривать систему равных им функций f1(x, y, z) (11110000), f2 (x, y, z) (11111111) ,

f3 (x, y, z) (10011101) .

В первой части параграфа мы ввели на описательном уровне понятия формулы над множеством функций и функции, заданной формулой. Теперь формализуем эти понятия.

Пусть B - некоторое множество булевых функций, X - некоторое счетное множество переменных. Используя индукцию, определим

50

множество формул над B с переменными из X . Одновременно будем

B , A1, A2 ,..., An - формулы и max dep(A1 ), dep(A2 ),..., dep(An ) k .

саму формулу и все подформулы A1, A2 ,..., An .

Используя индукцию по глубине формулы, определим функцию,

константа из B . В первом случае задает тождественную функцию xi , во втором - функцию, тождественно равную константе c .

Ин д ук т и в н ы й пер е хо д . По предположению индукции каждой

значение которой на каждом наборе 1 , 2 ,..., n находится как

51

Заметим, что, определяя индуктивно функцию, заданную формулой, мы воспользовались договоренностью рассматривать функции с точностью до фиктивных переменных и считали все функции системы B зависящими от n переменных.

Зададимся вопросом: можно ли по виду формулы, которой задана функция, определить, какие из переменных этой функции существенны, а какие фиктивны? Очевидно, если функция задана формулой, в которую некоторая переменная не входит, то эта переменная фиктивная. Обратное утверждение в общем случае неверно, т.е. в формуле, задающей функцию, могут присутствовать как существенные, так и фиктивные переменные этой функции. Убедимся в этом на примерах.

Пр и м ер 9 . Указать существенные и фиктивные переменные функции

fx1, x2 , x3 x3 x3 x2 x1 .

◄Вначале упростим формулу, которой задается функция, используя равносильность a b a b :

f x1, x2 , x3 x3 x3 x2 x1

x3 x3 x2 x1 1 x2 x1 1 x1 .

Таким образом, значение функции определяется исключительно

Задачи повышенной сложности

Назовем весом булева вектора число его координат, равных 1. 2 . 1 . Сколько булевых векторов длины n имеет вес k?

Булевы векторы часто называют вершинами булева куба.

Расстоянием (Хэмминга) между вершинами и куба Bn называют

52

число , , равное числу координат, в которых они различаются,

i 1

соседними, если , 1, и противоположными, если , n .

Например, расстояние между векторами (1, 0, 0,1, 0) и (0, 0, 0,1,1)

2.2.Найти число неупорядоченных пар вершин булева куба Bn , удаленных друг от друга на расстояние k ( 0 k n ).

2.3.Показать, что для любых противоположных наборов и выполняется равенство v v 2n 1 .

2.4.Подсчитать число функций от n переменных, у которых:

h(x1, x2 , x3 , x4 ) g g x1, x4 , f x3 , x2 .

2.7. Указать существенные и фиктивные переменные функции

f x1,..., xn x1 x2 x2 x3 ... xn 1 xn xn x1 ,

где n 3 .

2.8. Выяснить, на скольких векторах булева куба B6 обращается в нуль функция:

а) f x1, x2 ,..., x6 x1x2 x3 x4 x5 x6 ; б) f x1, x2 ,..., x6 x1x2 x3 x4 x5 x6 .

54