Лекции Олейник PDF / Р_2_2
.pdf
Поясним последний переход: если 1,..., m 1,..., m , то
хотя бы |
при |
одном |
i |
|
i |
|
|
и, значит, |
i 0 , следовательно, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|||
A 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x1, x2 ,..., xn |
|
|
|
|||||
|
|
|
x1 1 x2 2 ... xmm f 1,..., m , xm 1,..., xn .■ |
|||||||||||||||
1, 2 ,..., m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В |
качестве |
пр им ер а |
|
приведем |
|
разложение функции |
||||||||||||
f x1, x2 ,..., xn : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) по переменной x1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
f x1, x2 ,..., xn x1 |
f 1, x2 ,..., xn |
|
f 0, x2 ,..., xn ; |
|||||||||||||||
x1 |
||||||||||||||||||
б) по переменным x1 , x2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
f 0,0,..., xn |
|
x2 |
|
f 0,1,..., xn |
||||||||
f |
x1 |
x2 |
x1 |
|
||||||||||||||
|
x1 |
|
f 1,0,..., xn x1 x2 f 1,1,..., xn . |
|||||||||||||||
|
x2 |
|||||||||||||||||
Теорема 2.4 (о задании функции в виде СДНФ). Каждую булеву |
||||||||||||||||||
функцию |
f от n переменных, |
за исключением тождественно равной |
||||||||||||||||
нулю, можно задать формулой |
|
|
|
x1 1 |
|
... xn n . |
||||||||||||
|
|
f x1, x2 ,..., xn |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,..., n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 1,..., n 1 |
|
|
|
||||
Доказательство. Запишем разложение функции f x1, x2 ,..., xn
по всем переменным и преобразуем его: |
||||||
f x1, x2 |
,..., xn |
|
|
|
x1 1 |
|
|
|
|
1,..., n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
... x n |
||
|
|
|||||
|
1,..., n |
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
f 1,..., n 1 |
|
|
|||
f 1,..., n
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f 1 |
,..., n |
|
|||
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
65
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x 1 ... x n f ,..., |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1,..., n |
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
||
|
|
1,..., n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x1 1 |
... xn n . ■ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1,..., n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f 1,..., n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Теорема 2.5 (о задании функции в виде СКНФ). Каждую булеву |
||||||||||||||||||
функцию f , не |
равную |
|
тождественно |
единице, |
можно задать |
|||||||||||||
формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... x |
|
|
|
|
||||||||
f x1, x2 ,..., xn |
|
|
|
x11 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
nn |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1,..., n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
f 1,..., n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Доказательство. Представим функцию |
|
f * , |
двойственную к f , в |
|||||||||||||||
виде СДНФ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 1 |
... xn n . |
|||||||
f * x1, x2 ,..., xn |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1,..., n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
f * 1,..., n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
По принципу двойственности равенство сохранится, если перейти в левой части к двойственной функции, а в правой - к двойственной формуле. Переход к двойственной формуле означает замену всех
конъюнкций дизъюнкциями, и наоборот (при этом выражения xi i
остаются неизменными, поскольку они представляют собой либо xi , либо xi ):
|
|
|
f * * |
|
|
x1 1 |
... xn n |
||||||
|
|
|
|
1,..., n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f * 1,..., n 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x1 1 ... xn n |
|
|
|
|
|
x1 1 |
... xn n |
|||
|
|
1,..., n |
|
|
|
1,..., n |
|
|
|
||||
|
f |
, 1..., n 1 |
|
|
|
f , 1..., n 0 |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x11 |
|
... xnn |
|||||
|
|
|
1 1, |
1,..., n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
f 1,..., n 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
66
|
|
Так как f |
* f , формула доказана. ■ |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Задачи повышенной сложности |
|
|
|||||||
|
|
2.9. |
Пусть функция |
f x1, x2 ,..., xn |
задана вектором |
значений |
||||||||||
1 |
, 2 ,..., |
2 |
n |
. |
Показать, |
что f * x1 , x2 ,..., xn |
задается |
вектором |
||||||||
|
2 |
n ,..., 2 , 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.10. Показать, что если функция |
f x1, x2 ,..., xn |
существенно |
||||||||||||
зависит от переменной |
xi |
( i 1,..., n ) , то двойственная к ней функция |
||||||||||||||
f * x , x ,..., x |
|
|
также существенно зависит от переменной x . |
|||||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
2.11. Подсчитать число дизъюнктных слагаемых, образующих |
||||||||||||||
СДНФ функции f x1, x2 ,..., xn x1 x2 |
... xn . |
|
|
|||||||||||||
|
|
2.12. Пусть множества |
X x1, x2 ,..., xn и |
Y y1, y2 ,..., ym |
||||||||||||
не |
|
пересекаются |
и |
пусть |
СДНФ |
функций |
f x1, x2 ,..., xn и |
|||||||||
g y1, y2 ,..., ym |
имеют |
соответственно |
k и |
p |
дизъюнктных |
|||||||||||
слагаемых. Найти число дизъюнктных слагаемых в СДНФ функций:
а) f x1, x2 ,..., xn g y1, y2 ,..., ym ; б) f x1, x2 ,..., xn g y1, y2 ,..., ym ; в) f x1, x2 ,..., xn g y1, y2 ,..., ym .
67