Лекции Олейник PDF / Р_2_2

§ 2.2. Совершенные дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы

Двойственная функция. Принцип двойственности. Разложение булевой функции по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ). Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ). Представление булевой функции в виде СДНФ и СКНФ.

Базовые понятия и утверждения

двойственные к дизъюнкции, конъюнкции и функциям одной переменной.

◄ Пусть f x1, x2 x1 x2 . Тогда

Нетрудно заметить, что столбец значений функции f * можно получить из столбца значений функции f , действуя по следующему алгоритму:

1) столбец значений функции f переписать в обратном порядке

(т.е. число, стоящее в первой строке, записать в последнюю строку; число, стоящее во второй строке, - в предпоследнюю строку и т.д.);

2) в получившемся в результате выполнения п. 1 столбце значений каждое число заменить его отрицанием (0 заменить 1 и 1 заменить 0).

Очевидно, что этот алгоритм можно использовать для построения двойственной функции в случае любого числа аргументов.

Если функция задана вектором значений, то роль столбца значений в алгоритме выполняет вектор значений.

Пр и м ер 2 . Задать вектором значений функцию, двойственную к

Упр а жн е н ие 2 . 1 2 . Найти функции, двойственные к сложению по модулю два, эквивалентности, штриху Шеффера и стрелке Пирса.

56

На примерах мы имели возможность убедиться, что отношение двойственности между функциями симметрично, т.е. если функция

Доказательство принципа двойственности приведено во второй

двойственности можно придать более конкретный вид: если в формуле, представляющей функцию f , все конъюнкции заменить на

дизъюнкции, дизъюнкции - на конъюнкции, 1 на 0, 0 на 1, то получим формулу * , представляющую функцию f , двойственную к f .

57

Пр и м ер 3 . Задать формулой функцию, двойственную к данной:

а) f x zy ; б) f x y yz 1. ◄ а) f * x zy * x z y .

Обратим внимание на следующее обстоятельство. В записи формулы, представляющей f , конъюнкция вследствие соглашения о

краткой записи формул в скобки не взята. Строя двойственную формулу, мы меняем конъюнкцию на дизъюнкцию. При этом следует учитывать, что связка « » имеет меньший приоритет выполнения, чем « », значит, чтобы двойственная формула сохранила структуру исходной формулы, при переходе от конъюнкции к дизъюнкции нужно взять дизъюнкцию в скобки. В то же время при переходе от дизъюнкции к конъюнкции скобки можно опустить.

б) f * x y yz 1 * xy y z 0 . ►

Упр а жн е н ие 2 . 1 3 . Задать формулой функцию, двойственную к данной:

Если функции равны, то и двойственные к ним функции равны. В сочетании с принципом двойственности это очевидное обстоятельство позволяет получать новые равносильности, переходя от равенства

1 2 к равенству 1 2 . Например, из равносильности 1 (см.

теорему 2.1) можно получить равносильность 2, а из равносильности 2 - равносильность 1.

конъюнкцию на дизъюнкцию, получим равенство x y y x .

Примерами других пар, связанных законом двойственности, являются равносильности 3 и 4, 5 и 6, 7 и 8, 9 и 10, 11 и 12, 13 и 14, 15 и

58

а) вектором значений; б) формулой.

2. Задание функции совершенной дизъюнктивной нормальной формой. Мы умеем переходить от реализации функции формулой к заданию ее таблицей истинности. Не меньший интерес представляет обратный переход - от таблицы истинности к формуле. Этот переход неоднозначен - формул, которыми можно задать любую булеву функцию, бесконечно много. Особый интерес имеет задание функций через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание.

Введем обозначения: x0 x , x1 x .

Каждую булеву функцию f от n переменных, за исключением тождественно равной нулю, можно задать формулой

59

(здесь дизъюнкция берется по всевозможным наборам значений переменных x1, x2 ,..., xn , на которых функция f равна 1).

Эту формулу называют совершенной дизъюнктивной нормальной формой (сокращенно СДНФ).

Доказательство этого утверждения приведено во второй части параграфа.

Чтобы построить СДНФ функции, нужно действовать следующим образом:

1)выбрать в таблице истинности функции все наборы значений переменных, на которых функция равна 1;

2)для каждого такого набора записать конъюнкцию, в которую войдут все переменные, причем, если значение переменной на данном наборе равно 0, то она войдет в конъюнкцию со знаком отрицания, а если 1, то без знака отрицания;

3)записать дизъюнкцию всех выписанных в п. 2 конъюнкций.

x1 x2 x1x2 x1x2 x1x2 ; x1 x2 x1x2 x1x2 x1x2 ;

x1 x2 x1x2 .

60

г) Запишем СДНФ, воспользовавшись таблицей истинности функции f (x, y, z) (11001010) (см. табл. 2.18):

f x y z x y z x y z x y z . ►

Упр а жн е н ие 2 . 1 5 . Задать функцию f (01011011) в виде

СДНФ.

3. Задание функции совершенной конъюнктивной нормальной формой. Рассмотрим еще один способ задания функции формулой над множеством, состоящим из дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

Каждую булеву функцию f , не равную тождественно единице,

(здесь конъюнкция берется по всевозможным наборам значений переменных x1, x2 ,..., xn , на которых функция f равна 0).

Эту формулу называют совершенной конъюнктивной нормальной формой (сокращенно СКНФ).

Доказательство этого утверждения приведено во второй части параграфа.

Чтобы записать СКНФ функции, нужно действовать следующим образом:

1)выбрать в таблице истинности функции все наборы значений переменных, на которых функция равна 0;

2)для каждого такого набора записать дизъюнкцию, в которую войдут все переменные, причем, если значение переменной на данном

наборе равно 1, то она войдет в дизъюнкцию со знаком отрицания, а если 0, то без знака отрицания;

3) записать конъюнкцию всех выписанных в п. 2 дизъюнкций. Пр и м ер 6 . Задать функцию в виде СКНФ:

◄а) - г) Опираясь на таблицы истинности функций (см. табл. 2.19

и2.18), запишем:

а) x1 x2 x1 x2 ; б) x1 x2 x1 x2 ;

61

в) x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 ;

г) f x y z x y z x y z x y z . ►

Упр а жн е н ие 2 . 1 6 . Задать функцию f (x, y, z) (01011011) в

виде СКНФ.

Каждая булева функция может быть задана формулой над множеством B , , .

Действительно, если f 0 , то f можно задать в виде СКНФ. Если f 0 , то f можно задать в виде СДНФ.

Теоретические обоснования

В первой части параграфа были приведены без обоснования

индуктивным определением формулы может быть записана в видеf A1, A2 ,..., An , где f - функция из B , A1 , A2 ,…, An -

62

f1 1, 2 ,..., n ,..., fn 1, 2 ,..., n .

Используя определение двойственной функции, зададим формулой функцию, двойственную к g :

g* x1,..., xn g x1,..., xn

f f1 x1,..., xn ,..., fn x1,..., xn

f f1 x1,..., xn ,..., fn x1,..., xn

k , то для этих формул выполнено предположение индукции, и, значит,

функции f1 , f2 ,..., fn реализуются формулами, двойственными к формулам A1, A2 ,..., An , т.е. fi (x1,..., xn ) Ai (x1,..., xn ) ( i 1,..., n ).

63

(здесь дизъюнкция берется по всевозможным наборам значений переменных x1, x2 ,..., xm ).

переменных и найдем на этом наборе значение функции, заданной доказываемой формулой:

64