Лекции Олейник PDF / Р_1_1
.pdfрассматривается произвольный элемент множества M1 и устанавливается, что он также является элементом множества M 2 .
В качестве примера докажем один из дистрибутивных законов:
A B C A B A C .
1) Пусть x - произвольный элемент из |
A B C . Тогда по |
||||
определению операции имеем x A и |
x B C . |
Во втором |
|||
случае из определения операции выводим, что |
x B |
или x C . |
|||
Если x B , |
то с учетом того, |
что x A , получаем |
x A B . Если |
||
x C , то с |
учетом того, что |
x A , получаем x A C . Таким |
|||
образом, x A B |
или x A C . Следовательно, по определению |
|||||||
операции имеем |
x A B A C . Тем самым установлено, |
|||||||
что A B C A B A C . |
|
|
|
|
||||
2) Пусть x - произвольный элемент из A B A C . Тогда |
||||||||
по определению операции |
имеем x A B или |
x A C . |
В |
|||||
первом случае из определения операции |
выводим, что |
x A |
и |
|||||
x B . Во втором случае - x A и |
x C . Таким образом, x B или |
|||||||
x C , значит, |
x B C . |
Кроме |
того, |
в обоих случаях |
x A . |
|||
Следовательно, |
согласно |
определению |
операции |
, |
имеем |
|||
x A B C . |
Тем |
самым |
установлено, |
что |
||||
A B A C A B C .
Действуя по такой же схеме, можно доказать и другие свойства операций над множествами (советуем проделать это самостоятельно).
В первой части данного параграфа были сформулированы свойства классов эквивалентности. Докажем эти свойства, предварительно записав их с использованием математической символики.
Теорема 1.1 (о свойствах классов эквивалентности). Пусть -
отношение эквивалентности на множестве M . Тогда
1. |
a M a |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. a, b M a |
b |
a |
b |
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
15
3. |
|
a |
M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство. |
1. |
|
- |
отношение |
эквивалентности, |
||||||||
следовательно, является рефлексивным, |
т.е. |
a M выполняется |
|||||||||||
a a . Но тогда a a |
и, значит, a |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Пусть a b , т.е. c a |
|
b |
. Тогда c a и |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c b |
|
, откуда |
a c и |
b c , и, |
следовательно, в силу симметричности |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a c и c b , и, наконец, поскольку транзитивно, получим a b . |
|||||||||||||
Возьмем любой элемент |
d |
множества |
|
b |
, тогда b d . |
Так как |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d a |
|
a b и |
|
b d , |
то в силу транзитивности |
a d , т.е. |
. Таким |
||||||||
образом, b |
|
a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично получим a |
b |
. Следовательно, a b . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Докажите это утверждение самостоятельно. ■
Задачи повышенной сложности
1.1. При голосовании в городскую думу в бюллетене в списке из трех кандидатов требовалось оставить не более одного. При подведении итогов оказалось, что кандидатов A и B вычеркнули 60% избирателей, кандидатов B и C - 80% избирателей, а кандидатов A и C - 70% избирателей. Какой процент избирателей проголосовал против всех кандидатов и какой кандидат набрал наибольшее число голосов?
1.2. Сколько бинарных отношений можно определить на множестве из n элементов?
1.3. На множестве A 1, 2, 3, 4 задано бинарное отношение
(m, n) m n или т т 2 . Какими свойствами обладает это бинарное отношение? Является ли оно отношением эквивалентности?
порядка? В том случае, если - отношение эквивалентности, |
указать |
|||
разбиение множества |
A на классы эквивалентности . |
|
|
|
1.4. Рассмотрим на множестве действительных чисел |
|
бинарные |
||
отношения , , , , |
определенные условиями: (a, b) |
|
a2 |
b2 , |
|
||||
16 |
|
|
|
|
(a, b) |
|
a2 b2 , |
(a, b) |
|
a2 b2 , |
(a, b) |
|
a b . |
|
|
|
Выяснить, какими свойствами обладают перечисленные бинарные отношения.
1.5.Привести пример рефлексивного, транзитивного, но не симметричного бинарного отношения на множестве из четырех элементов.
1.6.Привести пример рефлексивного, симметричного, но не транзитивного бинарного отношения на множестве из четырех элементов.
1.7.Привести пример транзитивного, симметричного, но не рефлексивного бинарного отношения на множестве из четырех элементов.
1.8.Пусть M x1, x2 ,..., xn - конечное множество. Сопоставим
каждому бинарному отношению на M |
матрицу размера n n , |
|||
называемую матрицей отношения, в которой на пересечении |
i -й |
|||
строки и |
j -го столбца стоит 1, если xi , x j , и 0 - в противном |
|||
случае. |
Определить, |
что представляет собой матрица отношений |
в |
|
случае, если : |
|
|
|
|
а) рефлексивно; |
|
|
|
|
б) симметрично; |
|
|
|
|
в) антисимметрично. |
|
|
||
1.9. Пусть A - |
конечное множество. Определим на булеане |
2A |
||
бинарное отношение |
: B C B C |
(здесь B 2A , C 2A ). |
||
Является ли отношение отношением эквивалентности? отношением
частичного (линейного) порядка?
1.10. Доказать, что если бинарное отношение одновременно симметрично и антисимметрично, то оно транзитивно.
17