Лекции Олейник PDF / Р_3_7

§ 3.7. Фундаментальная система циклов графа

Абстрактный цикл. Обобщенный цикл. Пространство циклов. Фундаментальная система циклов (базис пространства циклов).

Базовые понятия и утверждения

Пусть G - произвольный граф. На множестве циклов графа G введем бинарное отношение, которое назовем отношением равенства и определим следующим условием: будем считать, что два цикла равны, если множества их ребер совпадают.

Это бинарное отношение, будучи отношением эквивалентности, разбивает множество циклов данного графа на классы эквивалентности. Далее в этом параграфе, говоря о циклах графа, будем иметь в виду, если не оговорено противное, классы эквивалентности, а не отдельных их представителей. Эти классы эквивалентности назовем абстрактными циклами. Любой абстрактный цикл C задается множеством своих ребер.

Пр и м ер 1 . Граф G , представленный диаграммой на рис. 3.72, имеет следующие абстрактные циклы:

Обобщенным циклом будем называть абстрактный цикл или объединение непересекающихся абстрактных циклов. В число обобщенных циклов включим также цикл без ребер; назовем его пустым циклом и обозначим символом .

На множестве всех обобщенных циклов графа G введем две операции:

175

сложения по модулю 2 и умножения на 0 и 1 образуют линейное пространство (убедиться в выполнении восьми аксиом линейного пространства несложно).

Операция естественным образом распространяется на любое конечное число обобщенных циклов.

Линейной комбинацией обобщенных циклов C1, C2 ,..., Cn назовем выражение 1 C1 2 C2 ... n Cn , где i 0,1 .

Говорят, что система обобщенных циклов C1, C2 ,..., Cn зависима, если найдется набор чисел 1, 2 ,..., n , не все из которых равны 0,

базис линейного пространства циклов, если она удовлетворяет двум условиям:

1)C1, C2 ,..., Ck линейно независима;

2)любой обобщенный цикл C графа G может быть представлен в виде линейной комбинации обобщенных циклов C1, C2 ,..., Ck .

Базис линейного пространства циклов называют фундаментальной системой циклов.

Из курса линейной алгебры нам известно, что в линейном пространстве может быть несколько базисов, но все они состоят из

176

одного числа векторов линейного пространства (напомним, что это число называют размерностью линейного пространства).

Представляют интерес два вопроса: 1) из скольких циклов состоит фундаментальная система циклов произвольного графа и 2) как найти фундаментальную систему циклов графа?

Ответ на первый вопрос дает следующее утверждение: число циклов в любой фундаментальной системе циклов графа равно его цикломатическому числу.

Приведем алгоритм построения фундаментальной системы циклов произвольного графа G .

1-й шаг. Находим в графе G какой-либо обобщенный цикл C1 и удаляем из него ребро e1 («разрываем» цикл). Получаем граф G1 .

k -й шаг. В графе Gk 1 , построенном на ( k 1)-м шаге, находим

фундаментальная система циклов. Если в графе Gk обобщенные циклы остались, то повторяем k -й шаг.

остальные обобщенные циклы графа - линейные комбинации базисных

циклов. Н а пр им ер , C5 0 C1 1 C2 1 C3 .

Заметим, что действия по алгоритму не строго детерминированы: на каждом шаге мы имели несколько вариантов выбираемого цикла и удаляемого из него ребра. Если бы наш выбор был иным, то мы нашли бы другую фундаментальную систему циклов. Однако число циклов в этой другой фундаментальной системе тоже было бы равно трем.

Например, C1 , C2 , C7 также является фундаментальной системой циклов графа G .

Задачи повышенной сложности

3.37. Найти фундаментальную систему циклов следующих графов: а) графа, представленного диаграммой на рис. 3.2;

б) графа

3.38.Подсчитать, сколько циклов входит в фундаментальную систему циклов следующих графов:

а) графа, все ребра которого мосты; б) графа, имеющего 11 вершин, 10 ребер и состоящего из четырех

компонент связности.

3.39.Подсчитать, сколько циклов входит в фундаментальную систему циклов следующих графов:

3.40. Сколько всего обобщенных циклов имеет граф G , если v(G) 6 ?

178