Лекции Олейник PDF / Р_3_8

§ 3.8. Ориентированные графы

Ориентированный граф (орграф). Диаграмма орграфа. Полустепень исхода и полустепень захода вершины. Изоморфные орграфы. Матрицы смежности и инцидентности орграфа. Ориентированные пути, цепи, циклы. Слабая и сильная связность.

Базовые понятия и утверждения

1. Общие понятия. Перейдем к рассмотрению ориентированных графов.

Определение. Пусть V - конечное непустое множество, U - конечное множество, состоящее из поименованных упорядоченных пар элементов множества V , причем это могут быть пары из одинаковых элементов и одинаковые пары с разными именами. Совокупность

u4 v5 , v4 .

Число дуг, исходящих из вершины vi орграфа G , называют полустепенью исхода вершины vi и обозначают deg vi . Число дуг, заходящих в вершину vi , называют полустепенью захода вершины vi и

GV ,U справедливы равенства:

deg a deg a U .

Понятия изолированных и висячих вершин, а также висячих, кратных дуг и петель вводятся для ориентированного графа по аналогии с подобными понятиями для неориентированного графа.

Дуги вида u1 (a, b) и u2 (b, a) называются симметричными. Например, у орграфа на рис. 3.74 вершина v1 - изолированная,

вершина v3 - висячая, дуга u1 - висячая, дуга u2 - петля, дуги u3 и u4 -

кратные. Симметричных дуг у этого орграфа нет.

Ориентированные графы без петель и кратных дуг называют

обыкновенными ориентированными графами.

Направленным графом называется такой обыкновенный орграф, который не имеет симметричных пар ориентированных дуг. Граф на рис. 3.74 - направленный.

2. Изоморфные орграфы. Орграфы G1 и G2 называются изоморфными, если существуют такие два взаимно-однозначных отображения :V (G1) V (G2 ) и :U (G1 ) U (G2 ) , что для всякой

Введем на множестве орграфов бинарное отношение изоморфизма, состоящее из всех пар изоморфных орграфов. Это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, и значит, является отношением эквивалентности. Оно разбивает множество всех орграфов на классы эквивалентности так, что орграфы одного класса попарно

180

изоморфны, а орграфы разных классов не изоморфны. Если не оговорено иное, орграфы рассматриваются с точностью до изоморфизма, т.е. объектом изучения являются не отдельные орграфы, а классы эквивалентности по отношению изоморфизма. Каждый класс эквивалентности по отношению изоморфизма можно задать диаграммой, не указывая на ней имена вершин и дуг.

Пр и м ер 2 . На рис. 3.75 изображены диаграммы всех (с точностью до изоморфизма) обыкновенных орграфов с двумя вершинами.

Рис. 3.75.

Упр а жн е н ие 3 . 3 2 . Найти все (с точностью до изоморфизма) обыкновенные орграфы с тремя вершинами и не более чем тремя дугами.

3. Матрица смежности и матрица инцидентности орграфа.

Пусть G - произвольный орграф с m вершинами и n дугами. Пометим его дважды, т.е. упорядочим множества его вершин и дуг.

следующим образом:

1) bij 1 , если вершина с номером i - начало дуги с номером j и j-я дуга - не петля;

2) bij 1, если вершина с номером i - конец дуги с номером j и

j-я дуга - не петля;

3) bij 0 во всех остальных случаях.

Пр и м ер 3 . Выпишем матрицы смежности и инцидентности для графа из примера 1. Упорядочим естественным образом вершины и дуги графа, т.е. дадим вершинам и дугам номера в соответствии с их

индексами (вершине v1 - номер 1, вершине v2 - номер 2 и т.д.). При

181

таком упорядочивании вершин и дуг матрицы смежности A(G) и

Упр а жн е н ие 3 . 3 3 . Выписать матрицы смежности и инцидентности для орграфа G с вершинами v1 , v2 , v3 , v4 и дугами

u1 v2 , v1 , u2 v2 , v3 , u3 v1 , v3 , u4 v4 , v3 .

4. Ориентированные пути, цепи, циклы на орграфе.

Ориентированные путь, замкнутый путь, цепь, цикл, простая цепь и простой цикл определяются в ориентированном графе аналогично соответствующим неориентированным объектам в графах, однако с тем

отличием, что в последовательности вершин и дуг v0u1v1...vk 1uk vk для любой дуги ui i 1,..., k вершина vi 1 является началом, а вершина

vi - концом.

Простой орцикл часто называют контуром.

Очевидно, что если на орграфе есть ориентированный путь из вершины v1 в вершину v2 , то есть и ориентированная простая цепь из v1 в

v2 .

На множестве вершин ориентированного графа G введем бинарное отношение достижимости (связности) (~), включив в него все те пары вершин (a, b) , для которых на орграфе есть путь из a в b .

Если a b , то говорят, что b достижима из a .

Ориентированный граф называется сильно связным, если любая вершина в нем достижима из любой другой вершины.

Заменяя каждую дугу u (a, b) орграфа G на ребро получаем неориентированный граф G0 , называемый основанием

данного орграфа G .

Орграф называется связным (слабо связным), если связно его основание.

182

Очевидно, что сильно связный граф является связным; обратное утверждение в общем случае неверно.

На пр им ер , орграф G1 (рис. 3.76) слабо связным является, а сильно связным - нет, орграф G2 является как слабо связным, так и сильно связным, орграф G3 не является ни слабо, ни сильно связным.

изоморфизма) турниры с четырьмя вершинами. Выяснить, сколько среди них сильно связных.

5. Ориентированные деревья. Определим по индукции понятие

и U3 U1 (c, a) , является ориентированным деревом с корнем с и

183

Из определения непосредственно следует, что в каждом ориентированном дереве есть ровно одна вершина (корень), в которую не входят дуги, в каждую из остальных вершин входит ровно по одной дуге и все вершины достижимы из корня.

Вершины ориентированного дерева, из которых не выходят дуги, называются листьями. Если из вершины a ведет дуга в вершину b , то

aназывается отцом, а b - сыном. Из определения дерева следует, что

укаждой вершины (кроме корня) имеется единственный отец. Если из

вершины a ведет путь в вершину b , то a называется предком, а b -

потомком.

Путь из корня в лист называется ветвью дерева. Максимальная из длин ветвей дерева называется высотой дерева. Глубина вершины - это длина пути из корня в эту вершину. Для вершины v подграф дерева T , включающий все достижимые из v вершины и инцидентные им дуги,

образует поддерево Tv с корнем v . Высота вершины v - это высота

дерева Tv .

Пр и м ер 4 . На рис. 3.78 изображена диаграмма ориентированного дерева, корнем которого является вершина a . Вершины d , t , s и p -

листья. Вершина s - потомок вершин a , c и q ; вершина d - потомок вершин a и b ; вершина c - предок вершин t , p , q и s ; вершина a -

отец вершин b и c ; вершина b - сын вершины a , отец вершины d ; вершина q - сын вершины c , отец вершины s . Высота дерева равна трем. Глубина вершины q - 2, высота - 1; глубина вершины c - 1,

высота - 2.

Ориентированное дерево называется бинарным, если у каждой его вершины имеется не более двух сыновей, причем дуги, ведущие к ним, помечены двумя разными метками (например, 0 и 1).

184

a

Рис. 3.78. Рис. 3.79.

Бинарное дерево называется п о л н ы м , если у всех его вершин (за исключением листьев) имеется ровно два сына и все его ветви имеют одинаковую длину.

На рис. 3.79 приведен пример диаграммы полного бинарного дерева.

Задачи повышенной сложности

185