Лекции Олейник PDF / Р_1_2

8 по 10). На втором шаге имеется выбор из 3! вариантов. На третьем шаге имеется выбор из 7! вариантов расположения оставшихся карточек на 7 свободных местах. Согласно правилу произведения, ответом на вопрос задачи является число 8 3! 7! 6 8! ►

Пр и м ер 8 . Сколько различных шестизначных чисел можно получить, выкладывая в ряд карточки с цифрами от 1 до 9 так, чтобы на первых трех местах стояли четные, а на последних трех - нечетные цифры?

◄ Каждое число, удовлетворяющее условию задачи, можно выложить за два шага: на первом положить в ряд 3 карточки с четными цифрами, на втором - 3 карточки с нечетными цифрами. Число возможностей на первом шаге равно числу упорядоченных выборок объема 3 без повторений, элементами которых являются четные цифры,

т.е. числу размещений из 4 по 3: A43 . Число возможностей на втором

шаге равно числу упорядоченных выборок объема 3 без повторений, элементами которых являются нечетные цифры, т.е. числу размещений

способами можно осуществить обмен 3 Сашиных марок на 3 Ванины? ◄ Для каждого обмена Саша должен отобрать 3 марки из 10. Он

может это сделать C103 способами, поскольку каждый результат отбора можно интерпретировать как неупорядоченную выборку без повторений 3 элементов из 10, т.е. сочетание из 10 по 3. В свою

очередь Ваня может отобрать 3 марки для обмена C203 способами.

Каждому обмену можно однозначно сопоставить упорядоченную пару, первый элемент которой - набор марок, приготовленный для обмена Сашей, а второй - набор марок, приготовленный для обмена Ваней. Согласно правилу произведения, число таких пар, а значит, и число

способов обмена равно произведению C103 C203 . ►

28

Упр а жн е н ие 1 . 9 . а) Сколькими способами можно разместить 5 занумерованных шаров по 9 пронумерованным коробкам, если в 1 коробку можно положить не более 1 шара?

б) Сколькими способами можно разместить 5 занумерованных шаров по 9 пронумерованным коробкам, если в 1 коробку можно положить неограниченное число шаров?

Упр а жн е н ие 1 . 1 0 . Сколько разных шестибуквенных слов можно получить, переставляя буквы в слове «фартук»?

Упр а жн е н ие 1 . 1 1 . а) Сколькими способами на одной полке можно разместить 6 книг по физике и 6 книг по математике так, чтобы книги по физике стояли правее книг по математике?

б) Сколькими способами на одной полке можно разместить 6 книг по физике и 6 книг по математике так, чтобы книги по физике чередовались с книгами по математике?

Упр а жн е н ие 1 . 1 2 . а) Сколькими способами Маша может выбрать 2 предмета из 8 для сдачи экзамена по выбору?

б) Маша должна сдать 2 экзамена за 8 дней. Сколькими способами она может составить расписание экзаменов, если нельзя сдавать больше одного экзамена в день?

Упр а жн е н ие 1 . 1 3 . В киоске продаются 10 видов рождественских поздравительных открыток. Тане нужно купить 8 открыток. Сколькими способами Таня сможет это сделать, если:

а) она решила купить открытки только разных видов; б) она решила купить по две открытки четырех видов; в) Тане все равно, какие открытки покупать;

г) одна из открыток понравилась Тане больше других, и она решила купить хотя бы одну такую открытку?

Упр а жн е н ие 1 . 1 4 . Собрание из 50 человек выбирает председателя, секретаря и трех членов счетной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?

3.Некоторые комбинаторные соотношения. Числа Cnk

называются также биномиальными коэффициентами, поскольку они фигурируют в функциональном тождестве, называемом формулой бинома Ньютона:

(1 x)n Cn0 Cn1 x ... Cnk xk ... Cnn xn .

Доказательство формулы приведено во второй части параграфа.

29

Из этого тождества вытекает эффективный способ рекуррентного вычисления биномиальных коэффициентов, который можно представить в виде так называемого треугольника Паскаля:

сторонах) является суммой двух стоящих над ним чисел предыдущей

Теоретические обоснования

В дискретной математике довольно часто встречаются утверждения, зависящие от целочисленных параметров. Во многих

30

случаях их удается доказать методом математической индукции. Этот метод основан на принципе математической индукции, который состоит в следующем.

справедливым для всех значений n , начиная с некоторого значения N0 , если выполняются следующие условия:

справедливо и при n n0 1 .

Доказательство справедливости утверждения P(n) методом

математической индукции включает два этапа.

1) базис индукции, состоящий в проверке справедливости утверждения P(n) для некоторого начального значения N0 (обычно N0 1, но это не обязательно);

2)индуктивный переход, состоящий в том, что, полагая

полученное из формулы бинома Ньютона заменой n на n0 1.

31

Таким образом, формула бинома Ньютона справедлива для любого n 1 . ►

Приведенная формулировка принципа математической индукции допускает равносильные варианты. В некоторых случаях мы будем использовать вариант, в котором индуктивный переход состоит в

предположении справедливости утверждения P(n) для n n0 и доказательстве его справедливости для n n0 1 .

Для доказательства комбинаторных соотношений также пользуются аппаратом математического анализа. Проиллюстрируем это

Cn0 Cn1 x ... Cnn xn Cn0 Cn1 x ... Cnn xn .

Поскольку мы имеем тождество относительно x , коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих его частях должны быть

одинаковыми. Рассмотрим коэффициенты при xn . В левой части интересующий нас коэффициент равен C2nn . Чтобы понять, чему равен

коэффициент при xn в правой части, перепишем ее, изменив порядок слагаемых во втором множителе:

Cn0 Cn1 x Cn2 x2 ... Cnn 1xn 1 Cnn xn

Cnn xn Cnn 1xn 1 Cnn 2 xn 2 ... C1n x1 Cn0 .

Теперь видно, что слагаемые, содержащие xn , получаются при перемножении друг на друга первых, вторых, третьих и т.д. слагаемых, стоящих в скобках. Следовательно, верно равенство

C2nn Cn0 Cnn Cn1 Cnn 1 Cn2 Cnn 2 ... Cnn Cn0 .

Учитывая, что Cnk Cnn k , окончательно получаем:

C2nn Cn0 2 Cn1 2 Cn2 2 ... Cnn 2 .►

Задачи повышенной сложности

1.11.Сколько имеется четных четырехзначных чисел, в десятичной записи которых все числа различны?

1.12.Сколько имеется четырехзначных чисел, в десятичной записи

которых встречается цифра 5?

1.13.Сколько различных каруселей можно сделать, расположив по окружности фигурки десяти зверей (карусели считаются одинаковыми, если фигурки идут друг за другом в одинаковом порядке)?

1.14.а) Сколько разных шестибуквенных слов можно получить, переставляя буквы в слове «физика»?

б) Сколько разных восьмибуквенных слов можно получить, переставляя буквы в слове «черчение»?

33

1.15.Сколькими способами можно разложить по 8 занумерованным коробкам трех синих и пяти красных шаров так, чтобы

вкаждой коробке оказалось ровно по одному шару?

1.16.Доказать, что число упорядоченных разбиений n -элементного

множества на k подмножеств, первое из которых содержит n1 элемент,

n!

второе - n2 элемента, …, k -е - nk элементов, равно n1 !n2 !...nk ! .

1.17.а) Сколько имеется пятизначных чисел, в десятичной записи которых цифры расположены в порядке убывания?

б) Сколько имеется пятизначных чисел, в десятичной записи которых каждая следующая цифра меньше либо равна предыдущей?

1.18.В студенческой группе учатся 9 девушек и 11 юношей. Сколькими способами можно сформировать команду из 7 человек для участия в соревнованиях, если в нее должно войти не менее 3 юношей?

1.19.а) В классе учатся 18 человек. Сколькими способами можно составить график дежурств по классу на 6 дней так, чтобы каждый день дежурили по 3 человека, причем никто не дежурил дважды?

б) В классе учатся 18 человек. Сколькими способами можно разбить его учеников на 6 групп?

1.20.а) Сколькими способами можно разложить 8 одинаковых шаров по 3 занумерованным коробкам так, чтобы ни одна из коробок не осталась пустой?

б) Сколькими способами можно разложить 8 одинаковых шаров по

3занумерованным коробкам?

1.21.а) Сколькими способами можно представить число k в виде упорядоченной суммы n положительных целых чисел?

повторениями из n элементов по k .

1.23. а) Сколько существует рефлексивных бинарных соотношений на множестве из n элементов?

б) Сколько существует симметричных бинарных соотношений на множестве из n элементов?

34

в) Сколько существует антисимметричных бинарных соотношений на множестве из n элементов?

1.24. Используя бином Ньютона, доказать тождества:

35