Лекции Олейник PDF / Р_2_5

Рассуждаем от противного: предположим, что найдется класс Поста (обозначим его D ), в котором содержатся все функции из B . Тогда

может быть, поскольку есть булевы функции, не принадлежащие ни одному из классов Поста (например, штрих Шеффера). Получили противоречие, следовательно, наше предположение было неверным.

До ст ато ч но с ть . Пусть найдутся функции f0 , f1, fS, fM, fL из B такие, что f0 T0 , f1 T1 , fS S , fM M , fL L . Покажем, что

xy, x

Рис. 2.6.

111

Таким образом, конъюнкцию и отрицание можно задать формулой над B . Имеем: система x, xy полная, и каждая ее функция может

быть выражена формулой над B . Следовательно, условия теоремы о полноте двух систем выполнены и, значит, B - полная система. ■

Задачи повышенной сложности

2.34.Используя теорему о полноте двух систем, доказать, чтоx y полная система.

2.35.Опираясь на доказательство леммы о функции, не сохраняющей 0, реализовать формулой над множеством f (10010000)

либо 1, либо отрицание.

2.36. Опираясь на доказательство леммы о функции, не сохраняющей 1, реализовать формулой над множеством f (00010000)

либо 0, либо отрицание.

2.37. Опираясь на доказательство леммы о несамодвойственной функции, реализовать формулой над множеством 01101011 , x

константы 0 и 1.

2.38.Опираясь на доказательство леммы о немонотонной функции, реализовать формулой над множеством 01101011 , 0,1 отрицание.

2.39.Опираясь на доказательство леммы о нелинейной функции, реализовать формулой над множеством (11100100), 0, 1 конъюнкцию.

2.40.Доказать, что из любой полной системы можно выделить полную подсистему, содержащую не более пяти функций.

2.41.Доказать, что всякий замкнутый класс функций, не

совпадающий с P2 , содержится, по крайней мере, в одном из классов Поста.

2.42.Назовем систему булевых функций предполным классом, если эта система неполна и добавление к ней любой функции, ей не принадлежащей, приводит к образованию полной системы. Доказать, что:

а) классы Поста являются предполными; б) других предполных классов, кроме классов Поста, нет.

2.43.Доказать, что во всяком базисе содержится не более четырех

функций.

112

113