Основы дискретной математики

Задачи повышенной сложности

3.30. Можно ли прогуляться по парку и его окрестностям (план парка изображен на рис. 3.67) так, чтобы при этом перелезть через каждый его забор ровно один раз?

3.31. Есть ли гамильтонов цикл на графе Bn ? Ответ обосновать.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

§ 3.6. Раскраска графов

Раскраска графа. k -раскрашиваемый граф. k -хроматический граф. Хроматическое число графа.

p : V →{c1,c2 ,...,ck } такое, что для любых двух смежных вершин a и b выполняется условие p(a) ¹ p(b) .

Если раскраска графа задана, то говорят, что вершина a имеет цвет p(a) .

Отметим, что здесь не предполагается, что p отображает V на все множество красок

{c1, c2 ,..., ck } (т.е. какие-то краски могут оказаться неиспользованными).

Граф называется k-раскрашиваемым, если он может быть раскрашен в k цветов. Если при этом его нельзя раскрасить в k −1 цвет, то он называется k-хроматическим. Число

образом, для данного графа хроматическое число χ (G) = 2 .

Приведем ряд утверждений о хроматических числах графов:

1)1-хроматические графы - это нулевые графы и только они;

2)2-хроматические графы - это ненулевые двудольные графы и только они (заметим, что 2-хроматические графы также называют бихроматическими);

3)ненулевой обыкновенный граф является бихроматическим тогда и только тогда, когда не содержит циклов нечетной длины;

4)любой планарный граф можно раскрасить не более чем в четыре цвета.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Заметим, что из утверждения 2 следует, что любое неодноэлементное дерево является бихроматическим графом.

Упражнение 3.30. Построить обыкновенный плоский граф с минимальным числом вершин, хроматическое число которого равно 4.

Упражнение 3.31. Для следующих графов найти хроматические числа и привести пример раскраски графов в соответствующее число цветов:

Теорема 3.10 (критерий бихроматичности). Пусть G - ненулевой обыкновенный граф. Тогда следующие условия эквивалентны:

1)граф G бихроматический;

2)граф G не имеет циклов нечетной длины;

3)граф G - двудольный.

Доказательство. Доказательство проведем по следующей схеме: 1Þ 2 Þ 3 Þ1.

1Þ 2 . Будем рассуждать от противного. Предположим, что граф G бихроматический и на нем имеется цикл нечетной длины: C : v0e1v1...v2m−2e2m−1v2m−1 (v0 = v2m−1 ) . Зафиксируем некоторую раскраску графа в два цвета. Так как концы каждого ребра графа имеют разный цвет, то вершины цикла C , совпадающие с членами

последовательности {vi }i2=m1−1 с нечетными номерами, окрашены в один цвет.

Следовательно, вершины v1 и v2m−1 , а значит v1 и v0 окрашены одинаково, что невозможно, поскольку эти вершины смежные. Пришли к противоречию, следовательно, наше предположение было неверным.

2 Þ 3. Вначале докажем справедливость этого утверждения для связного графа.

Пусть G - ненулевой обыкновенный связный граф, не имеющий циклов нечетной длины. Зафиксируем некоторую вершину a графа и разобьем множество V вершин графа G на два непересекающихся подмножества V1 и V2 : в множество V1 соберем все вершины b , для которых длина любой кратчайшей цепи, идущей из a в b четна, а в

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

цикл нечетной длины, что противоречит условию.

Таким образом, мы разбили множество вершин графа G на два непустых, непересекающихся подмножества (доли) так, что концы любого ребра принадлежат разным долям. Следовательно, граф G - двудольный.

Пусть теперь граф G - ненулевой обыкновенный несвязный граф, не имеющий циклов нечетной длины. Так как граф ненулевой, то среди его компонент связности есть неодноэлементные, причем, как показано выше, каждая неодноэлементная компонента

- двудольный граф. Разобьем множество вершин графа G на два подмножества. В одно

подмножество включим вершины одной из долей каждой двудольной компоненты связности, в другое - все остальные вершины графа (включая вершины одноэлементных компонент связности). Тем самым множество вершин графа G окажется разбитым на два непустых, непересекающихся подмножества (доли) так, что

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

концы любого ребра принадлежат разным долям. Следовательно, граф G - двудольный.

3 Þ1. Пусть G - ненулевой двудольный граф. Покрасим вершины одной доли одним цветом, а вершины другой - другим. Получим раскраску графа в два цвета. Поскольку граф ненулевой, т.е. имеет хотя бы одно ребро, то он не может быть раскрашен в один цвет. Таким образом, граф G бихроматический. ■

Задачи повышенной сложности

3.32.Доказать, что изоморфные графы имеют одинаковые хроматические числа.

3.33.Найти хроматическое число графа:

3.34. Граф называется критическим, если удаление любой из его вершин (вместе с инцидентными ей ребрами) приводит к графу с меньшим хроматическим числом. Показать, что:

а) полный граф Kn является критическим для всех n >1 ;

б) граф Cn (цикл с n вершинами) является критическим тогда и только тогда, когда n нечетно.

3.35. Доказать, что для любого натурального p найдется обыкновенный

бихроматический граф с 2 p вершинами и p2 ребрами.

3.36. Описать обыкновенный граф с p вершинами, имеющий среди всех таких графов наибольшее число ребер.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

§ 3.7. Фундаментальная система циклов графа

Абстрактный цикл. Обобщенный цикл. Пространство циклов. Фундаментальная система циклов (базис пространства циклов).

Базовые понятия и утверждения

Пусть G - произвольный граф. На множестве циклов графа G введем бинарное отношение, которое назовем отношением равенства и определим следующим условием: будем считать, что два цикла равны, если множества их ребер совпадают.

Это бинарное отношение, будучи отношением эквивалентности, разбивает множество циклов данного графа на классы эквивалентности. Далее в этом параграфе, говоря о циклах графа, будем иметь в виду, если не оговорено противное, классы эквивалентности, а не отдельных их представителей. Эти классы эквивалентности назовем абстрактными циклами. Любой абстрактный цикл C задается множеством своих ребер.

Пример 1. Граф G , представленный диаграммой на рис. 3.72, имеет следующие абстрактные циклы:

C1 = {e1,e3 ,e4 } , C2 = {e2 , e4 ,e5 } ,

C6 = {e1,e2 , e3 ,e4 , e6 ,e7 } , C7 = {e1,e3 ,e5 , e6 ,e7 } .

Рис. 3.72.

Обобщенным циклом будем называть абстрактный цикл или объединение непересекающихся абстрактных циклов. В число обобщенных циклов

включим также цикл без ребер; назовем его пустым циклом и обозначим символом Æ .

На множестве всех обобщенных циклов графа G введем две операции:

а) операцию Å сложения по модулю 2: суммой обобщенных циклов C1 и C2 назовем обобщенный цикл C1 Å C2 с множеством ребер

{e ((eÎ E1 ) Ù (eÏ E2 )) Ú ((eÏ E1 ) Ù (eÎ E2 ))}

(здесь E1 и E2 - множества ребер обобщенных циклов C1 и C2 соответственно);

б) операцию умножения на 0 и 1: 0 × C = Æ ; 1× C = C .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Например, для обобщенных циклов графа G из примера 1 имеем:

C1 Å C2 = C4 , C1 Å C5 = C6 , C3 Å C4 = C5 .

Множество всех обобщенных циклов графа G с операциями сложения по модулю 2 и умножения на 0 и 1 образуют линейное пространство (убедиться в выполнении восьми аксиом линейного пространства несложно).

Операция Å естественным образом распространяется на любое конечное число обобщенных циклов.

Линейной комбинацией обобщенных циклов C1,C2 ,...,Cn назовем выражение a1 ×C1 Å a2 ×C2 Å ...Å an ×Cn , где ai Î{0,1} .

Говорят, что система обобщенных циклов C1,C2 ,...,Cn зависима, если найдется набор чисел a1, a2 ,..., an , не все из которых равны 0, такой, что

a1 × C1 Å a2 × C2 Å ... Å an × Cn = Æ . В противном случае систему обобщенных циклов

C1,C2 ,...,Cn называют независимой.

Система обобщенных циклов C1,C2 ,...,Ck графа G образует базис линейного пространства циклов, если она удовлетворяет двум условиям:

1)C1,C2 ,...,Ck линейно независима;

2)любой обобщенный цикл C графа G может быть представлен в виде линейной комбинации обобщенных циклов C1,C2 ,...,Ck .

Базис линейного пространства циклов называют фундаментальной системой циклов.

Из курса линейной алгебры нам известно, что в линейном пространстве может быть несколько базисов, но все они состоят из одного числа векторов линейного пространства (напомним, что это число называют размерностью линейного пространства).

Представляют интерес два вопроса: 1) из скольких циклов состоит фундаментальная система циклов произвольного графа и 2) как найти фундаментальную систему циклов графа?

Ответ на первый вопрос дает следующее утверждение: число циклов в любой фундаментальной системе циклов графа равно его цикломатическому числу.

Приведем алгоритм построения фундаментальной системы циклов произвольного графа G .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

1-й шаг. Находим в графе G какой-либо обобщенный цикл C1 и удаляем из него ребро e1 («разрываем» цикл). Получаем граф G1 .

k -й шаг. В графе Gk −1 , построенном на ( k −1)-м шаге, находим какой-либо обобщенный цикл Ck и удаляем из него произвольное ребро ek . Получаем граф Gk .

Если в графе Gk циклов нет, то C1,C2 ,...,Ck - искомая фундаментальная система циклов. Если в графе Gk обобщенные циклы остались, то повторяем k -й шаг.

Пример 2. Построим фундаментальную систему циклов графа G из примера 1.

Рис. 3.73.

Следовательно, C1, C2 ,C3 - фундаментальная система циклов (или, что то же самое,

базис пространства циклов) графа G . Все остальные обобщенные циклы графа - линейные комбинации базисных циклов. Например, C5 = 0 × C1 Å1× C2 Å1× C3 .

Заметим, что действия по алгоритму не строго детерминированы: на каждом шаге мы имели несколько вариантов выбираемого цикла и удаляемого из него ребра. Если бы наш выбор был иным, то мы нашли бы другую фундаментальную систему циклов.

Однако число циклов в этой другой фундаментальной системе тоже было бы равно трем. Например, C1, C2 ,C7 также является фундаментальной системой циклов графа G .

Задачи повышенной сложности

3.37. Найти фундаментальную систему циклов следующих графов:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

а) графа, представленного диаграммой на рис. 3.2;

б) графа G4 , представленного диаграммой на рис. 3.6.

3.38. Подсчитать, сколько циклов входит в фундаментальную систему циклов следующих графов:

а) графа, все ребра которого мосты;

б) графа, имеющего 11 вершин, 10 ребер и состоящего из четырех компонент связности.

3.39. Подсчитать, сколько циклов входит в фундаментальную систему циклов следующих графов:

3.40. Сколько всего обобщенных циклов имеет граф G , если v(G) = 6 ?

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

§ 3.8. Ориентированные графы

Ориентированный граф (орграф). Диаграмма орграфа. Полустепень исхода и полустепень захода вершины. Изоморфные орграфы. Матрицы смежности и инцидентности орграфа. Ориентированные пути, цепи, циклы. Слабая и сильная связность.

Базовые понятия и утверждения

1. Общие понятия. Перейдем к рассмотрению ориентированных графов.

Определение. Пусть V - конечное непустое множество, U - конечное множество, состоящее из поименованных упорядоченных пар элементов множества V , причем это могут быть пары из одинаковых элементов и одинаковые пары с разными именами. Совокупность множеств V и U называют ориентированным графом или, короче,

орграфом и обозначают G = (V ,U ) .

Элементы множества V называют вершинами, а элементы множества U - дугами.

Если дуга u есть упорядоченная пара вершин vi и vj , то пишут u = (vi , v j ) . Вершину vi

называют началом дуги u , а вершину vj - ее концом. При этом говорят, что дуга u

Из определений следует, что для любого орграфа G = (V ,U ) справедливы равенства:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com