Основы дискретной математики

Индуктивный переход. Предположим, что неравенство v (G) ³ 0 выполнено для любого графа, у которого число ребер меньше или равно n0 . Докажем, что тогда оно справедливо и для графа G = (V , E) , у которого E = n0 +1.

Удалим произвольное ребро графа G , т.е. перейдем к графу G - e = (V , E \ {e}) . Число ребер графа G − e равно E \ {e} = E -1 = n0 , следовательно, по предположению индукции, для этого графа выполнено условие v (G - e) ³ 0 , т.е. E \ {e} - V + k (G - e) ³ 0

.

Возможны два случая:

1)удаленное ребро - не мост;

2)удаленное ребро - мост.

В первом случае k (G - e) = k (G) . Следовательно, E -1 - V + k (G) ³ 0 или

E - V + k (G) ³1.

Во втором случае по теореме о мостах k (G - e) = k (G) + 1. Следовательно,

E -1 - V + k (G) +1³ 0 или E - V + k (G) ³ 0 .

В обоих случаях показано, что цикломатическое число графа G неотрицательно. Таким образом, справедливость индуктивного перехода обоснована. ■

Задачи повышенной сложности

3.11. Пусть G = (V , E) - обыкновенный граф, A(G) - матрица смежности этого графа,

отвечающая некоторой нумерации вершин v1 , v2 , …, vn .

3.12.Доказать, что замкнутый путь нечетной длины содержит простой цикл. Верно ли аналогичное утверждение для замкнутых путей произвольной длины?

3.13.Доказать или опровергнуть следующие утверждения:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

а) объединение любых двух различных цепей, соединяющих две вершины, содержит простой цикл;

б) объединение двух различных простых цепей, соединяющих две вершины, содержит простой цикл.

3.14.Граф G = (V , E) связен тогда и только тогда, когда для любого разбиения множества V на два подмножества V1 и V2 существует ребро графа G , соединяющее некоторую вершину из V1 с некоторой вершиной из V2 .

3.15.Показать, что связный граф с n вершинами содержит не менее n − 1 ребер.

3.16.Доказать, что в связном графе любые две простые цепи максимальной длины имеют по крайней мере одну общую вершину.

3.17.Показать, что граф с n вершинами и двумя компонентами связности имеет не

является связным.

3.19. Сколько существует попарно-неизоморфных обыкновенных графов с 16 вершинами и 118 ребрами?

3.20. Пусть G1 , G2 , …, Gk - все компоненты связности графа G . Доказать, что

k

v (G) = åv (Gi ) .

i=1

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

§ 3.3. Деревья

Дерево. Лес (ациклический граф). Остовный подграф. Остов. Взвешенный граф. Минимальный остов. Кодирование деревьев.

Базовые понятия и утверждения

1. Определение и основные свойства деревьев.

Определение. Граф называется деревом, если он связный и в нем нет циклов.

Одноэлементный граф, т.е. граф, имеющий одну вершину и не имеющий ребер, также считается деревом.

Граф называется лесом (или ациклическим графом), если в нем нет циклов. Очевидно, что каждая компонента связности леса - дерево.

Пример 1. Граф G1 (рис. 3.19) не является ни деревом, ни лесом. Граф G2 (рис. 3.20) -

дерево. Граф G3 (рис. 3.21) - лес, состоящий из четырех деревьев.

Пример 2. Представьте диаграммами все (с точностью до изоморфизма) деревья с пятью вершинами.

◄ Имеется три различных (с точностью изоморфизма) дерева с пятью вершинами (рис. 3.22 - 3.24). ►

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Рис. 3.22. Рис. 3.23. Рис. 3.24.

Упражнение 3.15. Представить диаграммами все (с точностью до изоморфизма) деревья с шестью вершинами.

Деревья обладают рядом характеристических свойств, по наличию или отсутствию каждого их которых в рассматриваемом графе G = (V , E) можно определить, является граф деревом или нет. Перечислим эти свойства:

1)граф G - дерево в том и только в том случае, когда в нем нет циклов и E = V −1;

2)граф G - дерево в том и только в том случае, когда он связный и E = V −1;

3)граф G - дерево в том и только в том случае, когда он связный, и каждое его ребро является мостом;

4)граф G - дерево в том и только в том случае, когда любые две вершины графа G можно соединить простой цепью, притом единственной;

5)граф G - дерево в том и только в том случае, когда в нем нет циклов и добавление к нему нового ребра приводит к образованию единственного простого цикла.

Также приведем одно из характеристических свойств леса: граф G = (V , E), имеющий k

компонент связности, является лесом в том и только в том случае, когда E = V − k .

Упражнение 3.16. Представить диаграммами все леса с тремя ребрами и шестью вершинами.

2. Остовы графа. Подграф G% графа G называется остовным подграфом, если множество его вершин совпадает с множеством вершин графа G .

Остовом обыкновенного графа называется его остовный подграф, являющийся деревом.

Пусть G = (V , E) - связный граф. Если G содержит хотя бы один цикл, то удалив из графа G некоторое ребро этого цикла, мы уменьшим число циклов графа по крайней мере на единицу, сохранив при этом его связность. Ясно, что, последовательно разрушая циклы данного графа, можно прийти к остову графа. Поскольку дерево с V

вершинами имеет ровно V − 1 ребро, то для получения остова нужно удалить из графа

E − (V −1) ребро, т.е. число ребер, равное цикломатическому числу ν(G) связного графа G .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Пусть теперь G = (V , E) - произвольный граф с k компонентами связности. Из каждой

компоненты связности Gi = (Vi , Ei ) этого графа удалим Ei − Vi + 1 ребро так, чтобы получился остов этой компоненты. В результате получим некоторый остовный подграф графа G . Подсчитаем общее число ребер, которое нам пришлось для этого удалить.

Сложив равенства Ei − Vi + 1 , 1 ≤ i ≤ k , получим:

Таким образом, чтобы получить остовный подграф, нужно, последовательно разрушая циклы графа, удалить из него число ребер, равное его цикломатическому числу.

Пример 3. Построим остов графа G , диаграмма которого изображена на рис. 3.25. Удалим из графа G ребро e1 ; получим граф G1 (рис. 3.26). Из графа G1 удалим ребро

Упражнение 3.17. Построить остовы графов G1 , G2 , G3 , G4 , изображенных на рис. 3.6.

Пусть G - обыкновенный связный граф. Упорядочим множество его вершин

V = {v1, v2 ,..., vn } . Определим матрицу Кирхгофа K (G) графа G , положив:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

где A(G) - матрица смежности графа, соответствующая данному упорядочению

вершин.

Справедливы следующие утверждения:

1)алгебраические дополнения всех элементов матрицы Кирхгофа графа равны между собой;

2)число остовов в связном неодноэлементном обыкновенном графе равно алгебраическому дополнению любого элемента его матрицы Кирхгофа.

Доказательство этих утверждений опустим.

Пример 4. Найдем число остовов в полном графе K3 с помеченными вершинами и представим их диаграммами.

◄ Пометим вершины графа K3 (рис. 3.29) и выпишем для полученного графа матрицу Кирхгофа:

Найдем алгебраическое дополнение к элементу матрицы K , стоящему на пересечении первой строки и первого столбца (элемент взят нами произвольно):

Таким образом, число помеченных остовов в полном графе с тремя вершинами равно 3. Их диаграммы изображены на рис. 3.30 - 3.32. ►

Упражнение 3.18. Найти число остовов, а также сами остовы в помеченном графе

K2,2 .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3. Построение минимального остова. Взвешенным графом называется граф, на множестве ребер которого задано отображение ρ : E →[0; +∞) , приписывающее каждому ребру e неотрицательное число ρ(e) .

Число ρ(e) называется весом ребра e , число ρ(G) = åρ(e) - весом графа G .

e E

Остов T связного взвешенного графа G называют минимальным остовом, если для любого остова T% выполнено неравенство ρ(T ) ≤ ρ(T%).

Опишем алгоритм построения минимального остова в связном взвешенном графе,

предложенный Дж. Краскалом в 1956 г.

а) добавление ребра ek не приводит к образованию циклов;

б) из ребер, удовлетворяющих условию а), ребро ek обладает наименьшим весом.

Если такого ребра нет, то Tk −1 - остов минимального веса; если есть, то, добавляя выбранное ребро ek к остовному подграфу Tk −1 , получаем остовный подграф Tk с

множеством ребер Ek = Ek −1 {ek } .

После чего повторяем k -й шаг.

Замечания. 1. В случае несвязного графа, следуя алгоритму Краскала, можно построить остовный лес минимального веса.

2. Если граф невзвешенный, то, присвоив всем ребрам одинаковые веса, по алгоритму Краскала можно построить остов (остовный лес).

Пример 5. Построить остов минимального веса графа G , представленного диаграммой на рис. 3.33 (на диаграмме около каждого ребра проставлен его вес).

◄ Согласно алгоритму Краскала, строим последовательность остовных подграфов:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Определение. Бинарным кодом корневого дерева с одним ребром является

Пример 6. Построить бинарный код дерева, изображенного на рис. 3.41.

Рис. 3.41.

◄ Этапы построения кода отражены на рис. 3.41. Код дерева - (00010101100100101111)

.►

Упражнение 3.20. Построить бинарный код дерева, изображенного на рис. 3.42.

Справедливо следующее утверждение: для того чтобы последовательность нулей и единиц являлась кодом некоторого дерева, необходимо и достаточно, чтобы число нулей и единиц в последовательности было одинаковым, причем в любом начальном отрезке последовательности количество нулей было не меньше количества единиц.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com