Основы дискретной математики

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный институт электронной техники (технический университет)

Т.А. Олейник

Основы дискретной математики: теория и практика

Учебное пособие

Утверждено редакционно-издательским советом института

Москва 2010

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

УДК 519.7(075.8)

О53

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доц. Е.Ю. Кулькова; канд. экон. наук, доц. И.В. Платонова

Олейник Т.А.

О53 Основы дискретной математики: теория и практика: уч. пособие. - М.:

МИЭТ, 2010. - 252 с.: ил.

ISBN 978-5-7256-0594-5

Рассматриваются с разной степенью полноты несколько разделов дискретной математики: комбинаторика, алгебра логики, теория графов и теория конечных автоматов.

По каждому разделу изложены теоретические сведения и приведены многочисленные примеры решения стандартных задач. Содержится большой набор задач повышенной сложности, самостоятельное решение которых поможет студентам более глубоко усвоить материал.

Предназначено для студентов младших курсов.

ISBN 978-5-7256-0594-5

© МИЭТ, 2010

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Оглавление

Предисловие Глава 1. Множества, бинарные отношения, комбинаторика

§1.1. Множества и бинарные отношения.

Базовые понятия и утверждения

1.Множества и операции над ними

2.Бинарные отношения на множестве Теоретические обоснования Задачи повышенной сложности

§1.2. Элементы комбинаторики

Базовые понятия и утверждения

1.Правило произведения и правило суммы

2.Сочетания и размещения

3.Некоторые комбинаторные соотношения Теоретические обоснования Задачи повышенной сложности

Глава 2. Функции алгебры логики

§2.1. Булевы функции и способы их задания

Базовые понятия и утверждения

1.Булевы векторы и булевы функции от n переменных

2.Элементарные булевы функции

3.Задание булевых функций формулами Теоретические обоснования Задачи повышенной сложности

§2.2. Совершенные дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы

Базовые понятия и утверждения

1.Принцип двойственности.

2.Задание функции совершенной дизъюнктивной нормальной формой

3.Задание функции совершенной конъюнктивной нормальной формой

Теоретические обоснования Задачи повышенной сложности

§2.3. Минимизация дизъюнктивных нормальных форм

Базовые понятия и утверждения

1.Постановка задачи минимизации ДНФ

2.Понятие о сокращенной и тупиковой ДНФ

3.Построение минимальных ДНФ Теоретические обоснования Задачи повышенной сложности

§2.4. Классы Поста и замыкание

Базовые понятия и утверждения

1.Функции, сохраняющие 0; функции, сохраняющие 1

2.Самодвойственные функции

3.Монотонные функции

4.Линейные функции

5.Замыкание системы булевых функций

Теоретические обоснования Задачи повышенной сложности

§2.5. Полнота системы булевых функций

Базовые понятия и утверждения

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

1.Понятие о полноте системы булевых функций

2.Критерий полноты системы булевых функций Теоретические обоснования Задачи повышенной сложности

Глава 3. Теория графов

§3.1. Основные определения

Базовые понятия и утверждения

1.Общие понятия

2.Изоморфные графы

3.Виды графов

4.Матрица смежности и матрица инцидентности

5.Подграфы и операции над ними Задачи повышенной сложности

§3.2. Достижимость и компоненты связности, циклы и мосты,

цикломатическое число Базовые понятия и утверждения

1.Пути, цепи, циклы на графе

2.Достижимость и компоненты связности графа

3.Мосты и циклы графа

4.Цикломатическое число графа

Теоретические обоснования Задачи повышенной сложности

§ 3.3. Деревья

Базовые понятия и утверждения

1.Определение и основные свойства деревьев

2.Остовы графа

3.Построение минимального остова

4.Кодирование деревьев

Теоретические обоснования Задачи повышенной сложности

§ 3.4. Планарность

Базовые понятия и утверждения

1.Укладка графа в трехмерном пространстве

2.Планарные графы

Теоретические обоснования Задачи повышенной сложности

§ 3.5. Обходы графов

Базовые понятия и утверждения

1.Эйлеров цикл и эйлерова цепь

2.Гамильтонов цикл и гамильтонова цепь Теоретические обоснования Задачи повышенной сложности

§3.6. Раскраска графов

Базовые понятия и утверждения Теоретические обоснования Задачи повышенной сложности

§3.7. Фундаментальная система циклов графа

Базовые понятия и утверждения Задачи повышенной сложности

§3.8. Ориентированные графы

Базовые понятия и утверждения 1. Общие понятия

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

2.Изоморфные орграфы

3.Матрица смежности и матрица инцидентности орграфа

4.Ориентированные пути, цепи, циклы на орграфе

5.Ориентированные деревья

Задачи повышенной сложности

§3.9. Отыскание кратчайших путей. Алгоритм Дейкстры

Базовые понятия и утверждения Теоретические обоснования

§3.10. Задача о максимальном потоке в сети

Базовые понятия и утверждения Теоретические обоснования

§3.11. Реализация булевых функций с помощью схем из функциональных

элементов

§3.12. Реализация булевых функций с помощью упорядоченных бинарных

диаграмм решений Базовые понятия и утверждения

1.Основные понятия

2.Построение минимальных УБДР функции относительно заданного порядка переменных

3.Построение сокращенных УБДР по формулам

Задачи повышенной сложности

Глава 4. Элементы теории автоматов

§4.1. Ограниченно-детерминированные функции

Базовые понятия и утверждения

1.Детерминированные функции

2.Ограниченно-детерминированные функции

§4.2. Реализация ограниченно-детерминированных функций конечными

автоматами Базовые понятия и утверждения

1.Конечный автомат Мили, способы его задания

2.Продолжение функций переходов и выходов на слова

3.Приведенный автомат

Задачи повышенной сложности

Ответы и указания к упражнениям Литература

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Предисловие

Данная книга представляет собой начальное пособие по дискретной математике и содержит материал, предусмотренный стандартной программой технических высших учебных заведений. Предварительные знания, необходимые для изучения этого пособия,

исчерпываются школьным курсом математики и начальными сведениями по теории матриц.

Пособие состоит из четырех глав. В первой главе приведены сведения из элементарной теории множеств и бинарных отношений, начальные сведения из комбинаторики. Вторая глава посвящена теории булевых функций и знакомит с различными способами их задания, со специальными классами формул для представления булевых функций, такими как совершенные дизъюнктивные, конъюнктивные нормальные формы и полином Жегалкина. Достаточно подробно обсуждается понятие полноты системы булевых функций. В третьей главе излагаются основы теории графов, в том числе рассматриваются несколько оптимизационных задач.

Последние два параграфа третьей главы знакомят с двумя представлениями булевых функций: схемами из функциональных элементов и упорядоченными бинарными диаграммами решений. Четвертая глава может рассматриваться как введение в теорию автоматов.

Материал первой главы используется при изложении последующих глав, вторая и

третья главы практически независимы и могут изучаться в любом порядке относительно друг друга. Знакомство с четвертой главой предполагает знакомство со всеми предшествующими главами.

Построение книги имеет ряд особенностей. Главы делятся на параграфы, ориентированные на изучение отдельной темы. Параграфы разбиты на части: «Базовые понятия и утверждения», «Теоретические обоснования» и «Задачи повышенной сложности».

В первой части каждого параграфа приводятся основные понятия, излагаются без обоснования важные утверждения. Понятия и утверждения иллюстрируются многочисленными примерами. Приводятся решения типовых задач, а также даются простые упражнения для самостоятельного решения. В конце пособия приводятся ответы к упражнениям, ко многим из них даны указания и решения.

Во второй части каждого параграфа тема излагается на более глубоком уровне, в частности, разбираются доказательства значительной части утверждений и нетривиальных алгоритмов из первой части.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Третья часть каждого параграфа содержит набор нетиповых задач по теме, предназначенных для студентов, проявляющих повышенный интерес к предмету.

Если студент не видит необходимости в глубокой проработке материала, то он может ограничиться изучением лишь первых частей параграфов. Это позволит ему познакомиться с достаточно широким кругом понятий дискретной математики, набором

алгоритмов решения стандартных задач и поможет в дальнейшем самостоятельно изучать прикладную литературу.

Студенту, заинтересованному в усвоении курса, советуем изучить пособие в полном объеме: познакомиться с обоснованиями утверждений и алгоритмов, а также не пожалеть времени на поиск решений задач повышенной сложности.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Глава 1. Множества, бинарные отношения, комбинаторика

§ 1.1. Множества и бинарные отношения

Множество, способы задания множеств. Мощность конечного множества. Подмножество. Операции над множествами: дополнение, объединение, пересечение, разность, декартово произведение. Правило суммы, формула включений и исключений. Бинарное отношение на множестве. Свойства бинарных отношений: рефлексивность, симметричность, транзитивность. Отношение эквивалентности и отношение порядка.

Базовые понятия и утверждения

1. Множества и операции над ними. Под множеством понимают объединение в единое целое определенных вполне различаемых объектов. Объекты при этом называют элементами образуемого ими множества.

Для обозначения множеств используют прописные буквы, а для обозначения элементов множеств - строчные буквы латинского алфавита.

Запись x M означает, что x является элементом множества M ; в противном случае пишут x M .

Множество называют конечным, если оно содержит конечное число элементов, и бесконечным, если оно содержит бесконечное число элементов. Множество, не содержащее элементов, называют пустым и обозначают символом .

Число элементов конечного множества M называют его мощностью и обозначают

M .

Множество можно описать, указав свойство, присущее элементам только этого множества. Множество всех объектов, обладающих свойством P(x) , обозначают

{x P(x)} . Конечное множество можно задать путем перечисления его элементов, т.е.

M = {x1, x2 ,..., xn } .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Например, запись M = {x x2 -16 = 0, x ÎR} означает, что множество M содержит два элемента - числа -4 и 4 .

Если каждый элемент множества A есть элемент множества B , то говорят, что A есть

подмножество B , и пишут: A B .

Заметим, что пустое множество Æ считают подмножеством любого множества.

Если A B и B A , то говорят, что множества A и B равны, и пишут: A = B .

Если A B и A ¹ B , то A называют собственным подмножеством B и, чтобы подчеркнуть это, применяют запись A Ì B .

Множество всех подмножеств множества M называют его булеаном и обозначают 2M .

Например, если M = {a,b, c} , то

2M = {Æ,{a}, {b}, {c},{a,b}, {b,c}, {a,c}, {a,b,c}} .

Вводят целый ряд операций над множествами, позволяющих получать из одних множеств другие.

1. Множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A и B , называют объединением A и B и обозначают A È B , т.е.

A È B ={x xÎ A или xÎ B} .

2. Множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству A , так и множеству B , называют пересечением A и B и обозначают A Ç B ,

т.е. A Ç B = {x xÎ A и xÎ B} .

Если A Ç B = Æ , то множества A и B называют непересекающимися.

3. Множество, состоящее из всех элементов множества A , не принадлежащих множеству B , называют разностью A и B и обозначают A \ B , т.е.

A \ B ={x x Î A и xÏ B} .

4. Обычно в конкретных рассуждениях всякое множество рассматривают как подмножество некоторого достаточно широкого множества, которое называют универсальным. Множество элементов универсального множества I , не принадлежащих множеству A , называют дополнением A и обозначают A , т.е.

A ={x xÎ I и xÏ A} . Из определения следует, что A = I \ A .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com