Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kalney_Limits_Continuos

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

2.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

1.9. Число e .

Рассмотрим последовательность

xn = 1

Докажем, применяя теорему 1.11, что она имеет предел. Для этого покажем,

что последовательность xn возрастающая и ограничена сверху.

По формуле бинома Ньютона

(a + b)n = an +

an−1b1 +

n(n −1)

an−2b2 +

n(n −1)(n − 2)

an−3b3 +….

… +

n(n −1)(n − 2)...(n − (n −1))

имеем

1 n

n(n −1) 1

n(n −1)(n − 2)...(n − (n −1))

1 n

xn = 1 +

= 1 + n

+…. +

2! n

Разделив в каждом слагаемом, начиная с третьего, каждый множитель вида (n − k )

на n , получим

xn = 2 +	1		−	1	+	1		−	1		−	2	+ ... +	1		−	1		−	n −1
		1					1			1					1			... 1			. (1.4)
	2!
				n		3!			n			n		n!			n			n

Так как

0 < 1 −

< 1

для

любого

k = 1, 2,..., n −1

≤

k ! 1 2 3 ... k

≤

, то из равенства (1.4) и формулы суммы бесконечно убываю-

1 2 2 ... 2

2k −1

щей геометрической прогрессии следует

x < 2 +

+ ... +

≤ 2 +

+ ... +

2! 3!

2n−1

< 1 + 1

+ ... +

...

= 1

= 3 .

2n−1

1 −1 / 2

Таким образом, последовательность xn ограничена сверху числом 3. Очевидно, что

xn ≥ 2 для любого n .

Покажем, что xn возрастающая. По формуле (1.4) запишем

xn+1

= 2 +

−

1 −

+ ...+

n + 1

n −1

1 −

... 1 −

−

... 1

−

(1.5)

n +

n + 1

(n +

1)!

n + 1

Сравнивая (1.4) и (1.5) заключаем, что xn < xn+1 , так как каждый множитель вида

1 −	k	больше множителя 1 −	k	и, кроме того, в равенстве (1.5) на одно положи-
	n + 1
			n
тельное слагаемое больше, чем в (1.4).

	1 n
Итак, последовательность 1 +		возрастает и ограничена сверху. Следова-

	n
тельно, она имеет предел. Обозначим его буквой e :
e =			+	1 n
	lim 1				.

	n→∞			n

Число e иррациональное, его еще называют неперовым числом. Из рассужде-

ний выше следует, что 2 ≤ e ≤ 3, за приближённое значение можно взять число 2,7.

Пример 1.13. Банк предлагает размещать депозиты на длительный срок под

10 % годовых. Оцените во сколько раз увеличится депозит, размещённый на 10 лет.

◄Пусть первоначальный размер депозита равен A . Тогда после первого года

размер депозита станет A 1

после второго

– A 1

, а после 10-го –

A 1

. Таким образом, за 10

лет депозит вырастет в 1

≈ e ≈ 2, 7 раз

(более точно: в 2,594 раза).►

1.10.Предел функции в точке

1.Определения предела функции

Во многих задачах, в том числе практических, требуется найти предельное значение некоторой функции при стремлении аргумента к определённому числу.

Для их успешного решения необходимо придать строгий смысл интуитивным пред-

ставлениям о пределе функции в точке.

Пусть функция f ( x) определена на некотором интервале, содержащем точку

a , за исключением, быть может, самой точки a .

Определение. Число A называется пределом функции f ( x) в точке a , если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдётся зависящее от него число δ > 0 та-

кое, что для всех x ≠ a , удовлетворяющих условию x − a < δ , выполняется нера-

венство f ( x) − A < ε .

Отметим, что в этом определении, как и в дальнейшем в аналогичных ситуациях,

предполагается, что значения x , удовлетворяющие неравенству x − a < δ , принад-

лежат интервалу, на котором определена функция.

То, что число A есть предел функции f ( x) в точке a , записывают следующим образом:

lim f ( x) = A или f (x) → A при x → a .

x→a

Данное выше определение предела функции в точке часто называют определе-

нием предела по Коши или на « ε − δ языке».

Неравенства f ( x) − A < ε и x − a < δ равносильны двойным неравенствам:

A − ε < f ( x) < A + ε и, соответственно, a − δ < x < a + δ . Поэтому определение пре-

дела по Коши можно сформулировать следующим образом (в терминах окрестно-

стей): число	A	есть предел функции f ( x) в точке a , если	для любой ε -
окрестности	числа A найдётся δ -окрестность числа a такая,		что для любого
аргумента x ≠ a ,		принадлежащего δ -окрестности числа a , соответствующее
		33

значение		f ( x) принадлежит ε -окрестности числа A . На рисунке 1.12 дана иллю-
страция		данного определения. Для выбранной						произвольным		образом	ε -
						окрестности	числа	A	на оси Oy	найдена	δ -
y						окрестность числа a на оси Ox такая, что все точ-
				y = f(x)		окрестность числа a на оси Ox такая, что все точ-
A + ε				y = f(x)		ки ( x, f ( x))	графика		функции для	аргументов
A + ε

A						x ≠ a и принадлежащих δ -окрестности числа a
						x ≠ a и принадлежащих δ -окрестности числа a
A - ε						лежат в заштрихованном прямоугольнике.
						лежат в заштрихованном прямоугольнике.
O	a - δ				x	Сформулируем еще одно, эквивалентное,					оп-
O	a - δ		a	a + δ	x	ределение предела функции, которое будем назы-
						ределение предела функции, которое будем назы-
Рис.1.12.		Иллюстрация опре-				вать определением предела функции в точке по
деления		предела		функции	по	Гейне или на «языке последовательностей».
Коши.						Гейне или на «языке последовательностей».
Коши.
						Определение. Число A называется пределом
функции	f ( x)		в точке a , если для любой последовательности аргументов xn → a ,
xn ≠ a , соответствующая последовательность значений функции f (xn ) сходится к

числу A .

Вместо фразы число A есть предел функции f ( x) в точке a говорят также, что

A есть предел функции f ( x) при x стремящемся к a . Последняя фраза более точ-

но отражает смысл понятия предела функции, так как подчёркивает, что изучается поведение значений функции при приближении аргумента к точке, но не в самой точке. Это обстоятельство является очень важным при введении понятия производ-

ной функции (см. п. 2.1 главы 2).

В зависимости от ситуации одно определение предела функции в точке может оказаться удобнее другого. Определение по Гейне позволяет использовать получен-

ные ранее утверждения для предела последовательности при решении задач относи-

тельно предела функции.

Пример 1.14. Вычислить lim x2 .

x→a

◄ Используем определение в терминах последовательностей. Пусть xn про-

извольная последовательность, стремящаяся к a . Тогда, в силу арифметических

свойств предела последовательности (теорема 1.10), xn2 = xn xn → a2 . Таким обра-

зом, lim x2 = a2 . Отметим, что доказательство этого факта с помощью определе-

x→a

ния по Коши требует более тонких рассуждений.►

Пример 1.15. Доказать, что функция f ( x) = sin 1 не имеет предела при x

x → 0 (см. рис. 1.13).

-2/π -1/π O

1/π 2/π

-1

Рис.1.13.			График	функции
f ( x) = sin	1	.
f ( x) = sin		.
	x

◄ Возьмём последовательность

xn =	1			→ 0 при n → ∞ . Ей соответ-

	π
	π	+ πn
	2	+ πn
	2
ствует			последовательность				значений
					π			n
функции				f (xn ) = sin		+ πn = (−1)			,
функции				f (xn ) = sin	2	+ πn = (−1)			,
					2

которая не имеет предела. Следовательно,

в силу определения по Гейне, функция

f ( x) = sin 1 не имеет предела в точке x

x = 0 .►

Пример 1.16. Вычислить lim	x3 − 2x2
			.
			.
x→2	x − 2
◄ Рассмотрим функции f ( x) =		x3 − 2x2		и g ( x) = x2 . Это различные функ-
◄ Рассмотрим функции f ( x) =		x − 2		и g ( x) = x2 . Это различные функ-
		x − 2

ции: функция f ( x) не определена в точке x = 2 , а функция g ( x) определена в ней.

Но	f (x) = g (x)	для x ≠ 2 , а существование и значение предела функции в точке не
зависит от поведения функции в самой точке. Поэтому lim					f ( x) = lim g ( x) . Так
				x→2	x→2
как	lim x2 = 4 (см. пример 1.14), то и lim		x3 − 2x2	= 4 .►
как	lim x2 = 4 (см. пример 1.14), то и lim			= 4 .►
	x→2	x→2 x − 2

Дадим определения предела функции для случая стремления аргумента к бес-
конечности. При этом функция f ( x) считается определённой для всех x , превос-
ходящих, по модулю, некоторого числа.
Определение. Число			A называется пределом функции				f ( x) при		x → ∞ , если
для любого сколь угодно малого числа				ε > 0 найдётся зависящее от него число
K > 0 такое, что для всех x , удовлетворяющих условию x > K , выполняется нера-
венство	f ( x) − A < ε .
	y				Определение		предела		функции		при
					Определение		предела		функции		при
	A + ε			x → ∞ нетрудно			переформулировать на
				x → ∞ нетрудно			переформулировать на
	A		y = f(x)	случаи x → +∞ и x → −∞ : нужно лишь
			y = f(x)	случаи x → +∞ и x → −∞ : нужно лишь
	A - ε			заменить		неравенство		x > K		на x > K
-K	O	K	x	для	случая x → +∞ и			на	x < −K		для
-K		K
Рис.1.14.	Графическая	интерпретация		случая x → −∞ .
определения lim f (x) = A .					На рисунке 1.14 дана графическая ил-
	x→∞			люстрация определения предела функции
				люстрация определения предела функции
при x → ∞ : для выбранной произвольным образом ε -окрестности числа A на оси
Oy найдена точки ±K на оси Ox такие, что все точки графика функции y = f (x)
для аргументов x > K		лежат в заштрихованной полосе (иногда говорят: лежат в
« ε -коридоре»).
На языке последовательностей определение lim f (x) = A формулируется так:
					x→∞
число A называется пределом функции				f ( x)	при x → ∞ , если для любой последо-
вательности аргументов			xn → ∞ соответствующая последовательность значе-
ний функции f (xn ) сходится к числу A . Аналогичным образом в терминах после-
довательностей формулируются определения					lim	f ( x) = A и lim			f ( x) = A .
					x→+∞		x→−∞

Пример 1.17. Вычислить lim sin x .

x→∞ x

x → a ,

◄ Возьмем произвольную последователь-

ность

xn → ∞ .

Тогда

последовательность

-2π

-π

2π

1 → 0 ,

а последовательность sin x

ограничен-

Рис.1.15.

График

функции

f ( x) = sin x .

ная,

так как sin x ≤ 1

для любого

x. Следова-

тельно, по теореме 1.8, последовательность

f (x

) = sin x

→ 0 . Таким образом,

lim sin x = 0 (см. рис. 1.15).►

x→∞

2. Свойства предела функции

Ниже излагаются свойства предела функции при x , стремящемся к конечному

числу или бесконечности. Для сокращения записей будем всегда писать подразумевая под a как число, так и символы ∞ , +∞ , −∞ .

Доказательство ряда свойств предела функции нетрудно получить, применяя определение предела функции по Гейне и соответствующие свойства сходящихся

последовательностей.

Теорема 1.13. Если функция имеет предел при x → a , то он единственный.

◄ Предположим, что функция имеет два различных предела:		lim f ( x) = A и
		x→a
lim f ( x) = B . Возьмём произвольную последовательность xn → a ,		xn ≠ a . Тогда,
x→a
по определению предела функции по Гейне, последовательность		f (xn ) должна
стремиться к двум различным числам	A и B . Но этого быть не может в силу свой-
ства единственности предела для последовательностей (теорема 1.1).►
Аналогичным образом доказываются следующие теоремы.
Теорема 1.14. Если lim f ( x) = A , lim g (x) = B и f ( x) ≤ g ( x) в некоторой
x→a	x→a

окрестности a , x ≠ a , то A ≤ B .

	Теорема 1.15. Пусть	f ( x) ≤ z( x) ≤ g ( x) в некоторой окрестности a , x ≠ a , и
lim	f ( x) = lim g ( x) = A . Тогда функция z( x) также имеет предел при x → a , при-
x→a	x→a
чём равный A .
	Теорема 1.16. Пусть	lim f ( x) = A ,	lim g (x) = B . Тогда сумма, разность,
		x→a	x→a

произведение и частное функций также имеют пределы при x → a и верны равенст-

ва

lim ( f ( x) ± g ( x)) = A ± B ,	lim ( f ( x) g ( x)) = AB ,	lim	f ( x)	=	A	(если B ≠ 0 ).

x→a	x→a	x→a g ( x) B

Как и в случае последовательностей, теорема 1.16 позволяет сводить вычис-

ление пределов достаточно сложных выражений к пределам нескольких функций.

Пример 1.18. Вычислить lim		2x2 − x + 1
					.

	x→3 3x2 − 5x
◄ В силу теоремы 1.16 lim xn = an , если a конечное число. Используя ещё
x→a
несколько раз теорему 1.16,	заключаем			сначала, что lim (2x2 − x + 1)= 16 ,
								x→3
lim (3x2 − 5x )= 12 , а затем, что lim			2x2 − x + 1			=	4	.►

x→3	x→3 3x2 − 5x 3
Следующие два важных свойства предела функции докажем с помощью опре-
деления по Коши.
Для сокращения записей,	через U (a)			обозначают окрестность точки a , т.е.

интервал, содержащий точку a . Окрестность точки a , из которой исключена сама

точка, называют проколотой окрестностью точки a и обозначают U (a) .

Теорема 1.17. Пусть функция имеет конечный предел в точке a . Тогда суще-

ствует проколотая окрестность точки a , в которой функция ограничена.

◄Пусть lim f (x) = A . Возьмём ε = 1. Тогда, в силу определения предела функ- x→a

ции по Коши, существует такое число δ > 0 , что для всех x ≠ a , удовлетворяющих

условию x − a < δ , выполняется неравенство f ( x) − A < 1. Так как неравенство

f ( x) − A < 1 равносильно двойному неравенству A −1 < f (x) < A + 1, то заключаем,

что на множестве U (a) = {a − δ < x < a + δ, x ≠ a} функция ограничена как снизу,

так и сверху, т.е. ограничена.►

Теорема 1.18. Если lim f (x) = A, A ≠ 0 ,

то существует проколотая окрест-

x→a

ность U (a) такая,

что для всех x U (a) выполняется неравенство f ( x) >

, если

A > 0 , и f ( x) <

, если A < 0 .

◄ Положим ε =

> 0 , так как A ≠ 0 . Для этого ε существует окрестность

U (a) такая,

что

для

x U (a)

выполняется

неравенство

f ( x) − A

, или

A −

< f (x) < A +

Отсюда,

для любого

x U (a) выполняется неравенство

f ( x) > A −

, если A > 0 , и

f ( x) < A +

, если A > 0 .►

Замечание. Теоремы 1.17, 1.18 верны и для случаев a = ∞ , a = +∞ и a = −∞ ,

если под окрестностью

∞ понимать множество (−∞, −K ) (K , +∞) , +∞ – интер-

вал (K , +∞) , −∞ –

интервал (−∞, −K ) , K > 0 .

3. Существование предела функции в точке

Сформулируем критерий Коши существования предела функции в точке.

Теорема 1.19. Для того, чтобы функция f (x) имела конечный предел при

x → a , необходимо и достаточно, чтобы для всякого ε > 0 существовала окрест-

i i

ность U (a) такая, что для любых точек x′, x′′ U (a) выполняется неравенство

f ( x′) − f (x′′) < ε .

				4. Односторонние пределы
					1, x > 0,

Рассмотрим функцию sign x = 0, x = 0,							(читается: «сигнум икс). Она не име-

					−1, x < 0
ет предела в точке 0 (см.рис. 1.16). Однако, нетрудно видеть, что эта функция стре-
мится 1 и,	соответственно, к −1,				если x устремлять к 0 только справа или только
слева. В таком случае говорят, что функция имеет односторонние пределы.
y				Определение. Число				A называется пределом функции
				Определение. Число				A называется пределом функции
1				f ( x)	в точке a справа (слева), если для любого сколь
				угодно малого числа ε > 0 найдётся зависящее от него
O			x	число δ > 0 такое, что для всех					x , удовлетворяющих
				число δ > 0 такое, что для всех					x , удовлетворяющих
	-1			условию		0 < x − a < δ		( −δ < x − a < 0 ), выполняется
Рис.1.16. График функции				неравенство f ( x) − A < ε .
sign x .				Односторонние				пределы	обозначают	так:
f (a + 0) =	lim	f ( x)	–	справа,	f (a − 0) =		lim	f ( x) – слева. Таким образом,
x→a+0							x→a−0
sign(0 + 0) = 1 и sign(0 − 0) = −1.
Нетрудно доказать, что функция имеет предел в точке тогда и только тогда, ко-
гда существуют односторонние пределы в этой точке и они равны.

5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Из функций, имеющих конечный предел, выделяют особо функции, стремя-

щиеся к нулю при приближении аргумента к некоторой точке.

Определение. Функция α(x) называется бесконечно малой при x → a , если

lim α( x) = 0 .

x→a

Отметим, что называя какую либо функцию бесконечно малой, необходимо

обязательно указывать к чему стремится аргумент. Например, функция x2	будет
бесконечно малой при x → 0 , но не будет бесконечно малой функцией,	если
x → a ≠ 0 .
40

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.06.2015139.26 Кб12Java4.doc
#
05.06.20151.19 Mб13Java4.pdf
#
05.06.2015886.5 Кб21Java6.pdf
#
05.06.2015823.84 Кб17Java7.pdf
#
20.11.2018235.01 Кб7k1.doc
#
05.06.20152.02 Mб9Kalney_Limits_Continuos.pdf
#
22.09.2019273.41 Кб3keys_1_A.doc
#
21.09.2019243.71 Кб14khimia_otvety.doc
#
05.06.20152.29 Mб544KOLDAEV - Информатика Лабораторный Практикум.pdf
#
05.06.20151.22 Mб8Koll-1s-2013.doc
#
05.06.20151.15 Mб6Koll.doc