Kalney_Limits_Continuos

ются только назначения осей: для прямой функции y = f ( x)

осью аргументов явля-

ется ось абсцисс Ox , для об-

y

y = f -1(x)

ратной

x = f

−1( y) – ось ор-

y = f(x)

динат Oy . Если же и для об-

ратной

функции аргументы

располагать

на оси Ox , то

графики прямой функции и её

O

x

обратной будут симметричны

относительно

биссектрисы

Рис.1.4. Графики прямой и обратной функций

первого и третьего координат-

1. Постоянная функция:

y = c , где c действительное число.

2. Степенная функция:

y = xa ,

где a R (см. рис. 1.5). В случае произволь-

ного показателя a степенная функция определена для x > 0 . Но в ряде случаев об-

ласть определения расширяют. Например, если a натуральное число, то степенную

функцию считают определенной на всей числовой оси R . Также на всей числовой

оси определены функции вида y = 3 x , y = 3 x2 и т.п. Если

a целое отрицательное

число, то степенная функция определена для всех x ≠ 0 .

Отметим, что в случае иррационального показателя

a

степенную функцию

будем определять равенством

xa = ea ln x , то есть как сложную функцию.

y

y = x3

y

y = x-2

1

1

x

O

y

3

y = x

1

1

O

1

x

O

1

x

а)

б)

в)

Рис.1.5. Степенная функция.

2.

Показательная функция: y = a x , a > 0 , a ≠1,

x R (рис.1.6).

3.

Логарифмическая функция: y = loga x , a > 0 ,

a ≠1, x > 0 (рис.1.7).

y

y = ax (0 < a < 1)

y = ax (a > 1)

y

y = logax (a > 1)

1

O

1

x

O

x

y = logax (0 < a < 1)

Рис.1.6. Показательная функция.

Рис.1.7. Логарифмическая функция.

4.

Тригонометрические

функции:

y = sin x, x R;

y = cos x, x R;

y = tg x, x ≠ π + πk , k Z ;

y = ctg x, x ≠ πk,

k Z (см. рис. 1.8).

2

y

y

1

1

O

O

-π -π/2

π/2

π

x

-π -π/2

π/2

π

x

-1

-1

а) y = sinx

б) y = cosx

y

y

O

O

-π

/2

π

/2

π 3π

/2

x

x

-π -π/2

π/2

π

в) y = tgx

г) y = ctgx

Функция

f ( x) называется периодической,

если существует положительное

число T > 0 (период функции) такое, что f (x + T ) = f ( x) для любого

x D( f ) .

Периодическими являются тригонометрические функции.

Функция

f ( x) называется возрастающей (убывающей)

на промежутке I ,

если большему значению аргумента из промежутка I соответствует большее значе-

ние функции,

то есть для

любых

x1, x2 I и таких что, x1 < x2 , выполняется

f (x1) < f ( x2 )

(соответственно f (x1) > f ( x2 ) ). Если выполняется нестрогое нера-

венство f (x1) ≤ f ( x2 ) (соответственно

f (x1) ≥ f ( x2 ) ), то функция называется не-

убывающей (невозрастающей) на промежутке I .

Например,

показательная функция

y = a x

возрастающая на всей области оп-

ределения, если

a > 1, и

убывающая,

если

0 < a < 1.

Отметим,

что

функция

π

π

y = tg x возрастает на каждом из промежутков

−

+ πk ,

+ πk

, k

Z , но не яв-

2

2

ляется возрастающей на всей области определения.

Функция

f ( x) называется

ограниченной сверху (снизу) на промежутке I ,

если существует такое число M ( m ) ,

что f ( x) ≤ M ( f (x) ≥ m) для всех x I .

Функция, ограниченная сверху и снизу на промежутке I , называется ограниченной

на этом промежутке.

Например,

функции

sin x , cos x

ограничены на всей области определения,

торой множество натуральных чисел:

xn = f (n) ,

n N . Если функция f

задана

аналитически, то выражение

xn = f (n)

называется формулой общего члена после-

довательности {xn } .

Зная формулу общего члена, легко найти значение xn для любого номера n .

Пример 1.2. x

=

1

: x

= 1, x =

1

,

x

=

1

, ….

n

n

1

2

2

3

3

Пример 1.3. x

=

n −1

: x

= 0 , x

=

1

,

x

=

2

, ….

n

n

1

2

2

3

3

Пример 1.4. x

= (−1)n

: x

= −1, x

= 1, x

= −1, x

= 1, x = −1,….

n

1

2

3

4

5

Пример 1.5. x

= (−1)n n :

x = −1,

x = 2 ,

x

= −3 ,

x

= 4 , x = −5 ,….

n

1

2

3

4

5

Может рассматриваться и обратная задача: по нескольким заданным значени-

ям последовательности найти формулу общего члена. Например, пусть

x1 = 1,

ности x =

1

с возрастанием номера всё меньше отличаются от числа 0, а члены по-

n

n

следовательности x

=

n −1

– от числа 1. Тогда как для каждой из последователь-

n

n

ностей x

= (−1)n и

x = (−1)n n не существует чисел, к которым бы они прибли-

n

n

жались с возрастанием номера. Поэтому говорят, что последовательности x

=

1

и

n

n

x =

n −1

имеют пределы (стремятся к определённому числу),

а последовательно-

n

n

сти x = (−1)n и x

= (−1)n n предела не имеют.

n

n

Определение. Число a называется пределом последовательности xn , если

для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдётся такой номер N (ε) ,

что для

всех номеров n > N (ε) выполняется неравенство

xn − a

< ε .

(1.2)

Если число a предел последовательности, то пишут lim xn = a или

xn → a .

n→∞

Последовательность,

имеющая предел, называется сходящейся,

не имеющая преде-

ла – расходящейся.

Пример 1.6. Используя определение предела доказать, что

lim

1

= 0 .

n→∞ n

17

бого натурального n > N (ε)

выполняется неравенство

1

− 0

< ε , т.е.

1

< ε . Так

n

n

как n и ε положительные числа, то последнее неравенство равносильно

следую-

1

1

+ 1, где [x] - целая часть числа x , т.е.

щему n >

. Положим N (ε) =

наиболь-

ε

ε

довательности принадлежат этой ε -окрестности (рис. 1.10).

Таким образом, если число a пре-

xn, n > N(ε)

дел последовательности

xn , то вне любой

окрестности числа a

может лежать

a - ε

a

a + ε

лишь конечное количество членов после-

Рис.1.10.

Геометрическая

интерпрета-

довательности x .

n

a - ε a a + ε b - ε

b b + ε

Рис. 1.11. Геометрическая интерпретация доказательства теоремы 1.1

Теорема 1.2. Пусть xn → a , yn → b

и

xn ≤ yn для каждого n N . Тогда

a ≤ b .

◄Предположим, что a > b . Возьмем,

как и при доказательстве теоремы 1.1,

менно больший N1

и N2

, то yn

< b + ε ≤ a − ε < xn

, т.е. yn

< xn . Это противо-

речит условию:

xn ≤ yn для любого n . Следовательно, предположение неверно и

a ≤ b . ►

Замечание. Если для сходящихся последовательностей выполняется строгое

неравенство

xn < yn , то необязательно

lim xn

< lim yn .

Например,

n→∞

n→∞

x

= −

1

< y

=

1

, но lim x

= lim y

= 0 .

n

n

n

n

n

n

n→∞

n→∞

Аналогично предыдущим доказывается следующее свойство.

Теорема 1.3. Пусть xn

≤ zn ≤ yn для каждого n N

и lim xn

= lim yn = a .

n→∞

n→∞

Тогда последовательность zn

также сходится, причем

lim zn = a .

n→∞

Пример 1.7. Найти предел последовательности

x =

1

, где n! = 1 2 3 ... n

n

n!

◄ Рассмотрим две последовательности:

a = 0 для любого n

и b =

1

. Так

n

n

n

как a

= 0 < x =

1

=

1

≤

1

= b

и

lim a

= lim b = 0 ,

то предел x

n

n

n!

1 2 3 ... n

n

n

n

n

n

n→∞

n→∞

существует и также равен нулю.►

Определение.

Последовательность

xn называется ограниченной сверху (сни-

номера n выполняется двойное неравенство

m ≤ xn ≤ M .

(1.3)