Лекция 3.

Приближение функций интерполяционными полиномами.

Пусть функция f (x) задана множеством своих значений для дискретного

набора точек:

мых часто встречающихся прикладных задач. (Табличные значения могут быть получены либо в результате расчетов, проведенных на компьютере, либо в процессе замеров, осуществленных в рамках какого-либо эксперимента.)

Очевидно, что для достаточно подробной таблицы (когда xi − x - малые величины), для x ≈ xi можно положить f (x)≈ fi .

Наверное, более точное приближение получим, если для x [xi , xi+1 ] заме-

ним функцию f (x) отрезком прямой проходящим через точки(xi , fi ), (xi+1 , fi+1 ),

как это показано на (Рис. 3.1):

19

f (x)≈ fi + fi+1 − fi (x − xi ) xi+1 − xi

Таким образом, возникает идея приближения функции степенными полиномами, принимающими в заданных точках заданные (табличные) значения. Эта идея лежит в основе интерполирования.

Итак, пусть функция f (x) задана таблицей:{fi = f (xi ), i = 0,1,2,..., n}, содер-

жащей значения в (n +1)точке, причем xi попарно различные.

Будем искать полином отx , проходящий через табличные точки:

Pn (x)= a0 + a1 x + a2 x2 +... + an xn (1)

Требуя, чтобы в каждой табличной точке значение полинома совпадало с заданным значением функции, получим замкнутую систему линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов{ak }:

ao + a1 xi + a2 xi2 +... + an xin = fi ; i = 0,1,..., n

Определителем этой системы является рассматриваемый в курсе математического анализа определитель Вандермонда для системы несовпадающих точек:

т.е. искомый полином существует и единственен.

Замечательно то, что решение поставленной задачи можно сразу выписать в явном виде:

20

по равноотстоящим узлам.

Не следует думать, что для каждой непрерывной функции f (x), x [a;b],

интерполяционный многочлен, построенный по значениям в равноотстоящих

можно записать с использованием ωn+1(x) в виде:

Pn (x)= ωn+1 (x) ∑n ω′n+1 (xk f)k (x − xk )

k =0

Как следует из записи полинома в исходной форме (2), коэффициент при

Приведем еще одну форму записи интерполяционного полинома:

Pn (x)= A0 + A1 (x − x0 )+ A2 (x − x0 )(x − x1 )+... + An (x − x0 )(x − x1 )...(x − xn−1 )(3)

21

Требование совпадения значений полинома с заданными значениями функции приводит к системе линейных уравнений с треугольной матрицей для неопределенных коэффициентов{Ai ;i = 0,1,..., n}:

В дальнейшем будет рассмотрено решение систем линейных уравнений приведением к треугольному виду (метод исключения Гаусса).

Решение такой системы уравнений не составляет труда. Интерполяционный полином, записанный в виде (3), называется полино-

мом Ньютона.

Он интересен тем, что каждая частичная сумма его первых m +1слагаемых представляет собой интерполяционный полином m -ой степени, построенный по первым m +1 табличным данным.

треугольной системы уравнений сразу можно записать в явном виде:

В силу единственности решения задачи о построении интерполяционного полинома - записи в форме Лагранжа и Ньютона - это различные формы записи одного полинома.

Интересно сопоставить эти формы записи с точки зрения удобства использования при практическом интерполировании.

Замечание.

Если надо вычислить приближенное значение функции при некоторомx ≠ xi , то это вовсе не означает, что надо привлекать интерполяционный полином, построенный по всем табличным значениям. Это неправильно. Поступают так: строят полином невысокой степени по точкам, ближайшим к точке x и по ним вычисляют f (x).

22

Полином Лагранжа следует применять, если требуется приближать различные функции, заданные табличными значениями в одних и тех же точках.

Чтобы вычислить коэффициенты полинома (*), нужно решать систему уравнений общего вида (с определителем Вандермонда), а коэффициенты полинома Ньютона вычисляются из простой треугольной системы уравнений или непосредственно вычисляются по формуле (5).

Пример.

Допустим, что вблизи точкиx = x0 мы построили полином третьей степени

(по точкамx0 , x1, x2 , x3 ), а затем выяснилось, что точность, которую он обеспе-

чивал, недостаточна, и надо использовать интерполяцию четвертой степени. Для полинома Ньютона повышение его порядка на единицу сводится к

добавлению одного слагаемого, т.е. в нашем случае к вычислению коэффициента .

В то же время для ИП в исходной форме или ИП в форме Лагранжа нужно повышать порядок решаемой системы линейных уравнений (в данном случае делать его 4-го порядка).

Замечание.

Разумеется, ИП в форме Ньютона можно записать в окрестности любой табличной точки, “назвав” ее узлом x0 , а ближайшие табличные точки (с лю-

бой стороны и в любом порядке) - узлами x1 , x2 и т.д.

Погрешность интерполяции.

Ошибка приближения функции ИП n -ой степени в т. x - это разность

Rn (x)= f (x)− Pn (x).

Для оценки величины погрешности справедлива следующая теорема.

23

Доказательство.

Будем искать погрешность в виде Rn (x) = C(x) ωn+1 (x) , где C(x) - функция,

ограниченная на [a;b]. (При этом гарантируется, что Rn (x) обращается в ноль в точках интерполяции)

Чтобы получить представление о C(x) , рассмотрим вспомогательную

функцию

φ(x) = f (x) − Pn (x) − C(ξ) ωn+1 (x) , где ξ [a;b] - некоторое фиксированное значение.

Очевидно, что на [a;b] функция имеет (n + 2) нуля.

Это узлы интерполяции и точка x = ξ.

По теореме Ролля, x' [a;b]:φ(n+1) (x') = 0.

Продифференцировав (*) (n+1) раз и подставив x = x' , получим

0 = φn+1 (x') = f (n+1) (x') − (n +1)!C(ξ) .

Отсюда C(ξ) = f (n+1) (x') . Ясно, что x′ в теореме Ролля зависит от располо-

(n +1)!

жения нулей функции , т.е. x' = x'(ξ) - некоторая неявная зависимость. Обозна-

чая C(ξ) через C(x) получим (6).

доказано.

Следствие.

Из формулы (6) следует оценка интерполяции Rn (x) ≤ (Mn +n+11)! ωn+1 (x) , где

M n+1 = max[ ] f (n+1) (x) .

x a;b

Конкретная величина погрешности в точке зависит, очевидно, от значения полинома ωn+1 (x) в этой точке. Качественный характер ωn+1 (x) изображен на рис. 3.2.

24

Оценить погрешность интерполяции в т. x =116 и на всем отрезке [a;b].

Решение.

ИП Ньютона P2 (x)= A0 + A1(x − x0 ) + A2 (x − x0 )(x − x1) .

Для коэффициентов Ai :

A0 = f (x0 )

A0 + A1(x1 − x0 ) = f (x1)

A0 + A1(x2 − x0 ) + A2 (x2 − x1) = f (x2 )

В данном случае:

A0 = 100 =10 ;

116 − P2 (116) ≤ M3!3 ω3 (116) = 8310−5 31! (116 −100)(116 −121)(116 −144) =1.4 10−3

Оценка 2) сильно завышена.

Замечания о минимизации ошибки при полиномиальной интерполяции.

Ясно, что величина ошибки зависит от расположения узлов Если узлы можно выбирать, то ситуация значительно улучшается. Можно минимизировать ошибку интерполяции.

26

Полиномы Чебышева. Интерполяция по чебышевским узлам.

При больших n ≥10 интерполяция по равноотстоящим узлам практически не используется:

но ошибка интерполяции с ростом n бесконечно возрастает.)

2. даже малые погрешности в табличных данных приводят к большим (неустранимым) ошибкам интерполяции.

При интерполяции по чебышевским узлам этих неприятностей нет.

Рис. 3.3 Функция Рунге

Ошибка интерполяции В таблице.1 приведены результаты приближения интерполяционными по-

линомами различной степени функции Рунге

27

Функция Рунге - “нехорошая” для интерполирования функция.

Пример.

f (x) = cos(πx), x [−1; 1] - “хорошая” для интерполяции функция (Рис. 3.4).

Рис. 3.4 График функции f (x)= cos(πx)

Результаты приближения приведены в таблице.2

28