1. Молекулярная электроника.

Молекулярная электроника – обширная область исследований, включающая разработку способов построения электронных устройств на основе молекулярных блоков и создание новых материалов для электроники, которые могли бы стать альтернативой кремнию. Значительный импульс этому направлению придало открытие проводящих органических полимеров. В некоторых областях (органические светоизлучающие диоды – OLED) полученные результаты уже превышают характеристики соответствующих твердотельных аналогов. Теоретической основой молекулярной электроники служат методы квантовой химии, основанные на квантово-механических расчетах изпервых принципов(ab initio) – метод Хартри-Фока, теория функционала плотности, метод функций Грина и др., которые следует также рассматривать как общетеоретический фундамент для наноэлектроники в целом.

2. Спиновая электроника (спинтроника).

Спинтроника – бурно развивающееся направление, исследующее возможность и способы создания приборов, основанных на управлении спином частиц. Наиболее значительное на сегодняшний день достижение спинтроники – открытие гигантского магнитосопротивления и создания на этой основе нового поколения твердотельных устройств хранения информации. Широко обсуждается возможность создания спинового полевого транзистора, в котором области стока и истока поляризованы по спину, а проводящие свойства канала определяются ориентацией спина носителей заряда. Спином носителей можно управлять с помощью внешнего магнитного поля, а не электрического напряжения. Такое управление носит локальный характер и не требует глобальной перестройки потенциального рельефа прибора, что должно привести к увеличению его быстродействия. В качестве перспективного материала спинтроники рассматриваются мультиферроики, в которых сосуществуют магнитное и электрическое (сегнетоэлектрическое) упорядочения.

В силу значительной степени самостоятельности спинтроника – единственный раздел наноэлектроники, который остается за рамками данного курса.

Семинар 3. Сверхпроводимость и сверхпроводники. История открытия сверхпроводников. Основные виды сверхпроводниковых материалов. Понятие сверхпроводников I и II рода.

Сверхпроводимость относится к числу наиболее фундаментальных физических явлений. Поэтому, чтобы разобраться в принципах работы сверхпроводящих приборов и устройств требуется более детально, чем в стандартном курсе физики твердого тела, ознакомиться с физической сущностью этого явления.

Сверхпроводимость было открыто в 1911 г. в Нидерландах, в г. Лейдене в лаборатории под руководством профессора Камерлинга-Оннеса. Главной предпосылкой этого открытия послужило то, что в 1908 г. в этой же лаборатории впервые в мире научились получать жидкий гелий (He) с Т_к=4,2К.Лаборатория оставалась монополистом в области получения жидкого гелия до 1923 года, когда эта технология была освоена также Канаде (в СССР – в 1932 г. В Харькове). Впервые сверхпроводимость наблюдалась в ртути (Hg). На рисунке приведен график зависимости сопротивления ртути от температуры. Сопротивление скачком обращается в нуль при температуре равной критическойТ=Т_с.

Годом позже была открыта сверхпроводимость свинца и олова. Область науки, связанная со сверхпроводимостью довольно быстро развивалась, но прогресс в повышении критической температуры был незначительный:

Элемент	Тк, К
V(ванадий)	5,4
Nb	9,25
Nb3Sn	18
Nb3Ge	23

До 1987г:

В 1987 году произошел качественный скачок, связанный с открытием. высокотемпературной сверхпроводимости (ВТСП). В 1986г. швейцарские физики Беднорц и Мюллер (сотрудники филиала фирмы IBMв г. Цюрихе) обнаружили способность керамики на основе оксидов меди, лантана и бария (La_1-xBa_xCuO₄), приx=0,025переходить в сверхпроводящее состояние при 34К. Кроме того, было обнаружено, что с ростом давленияТ_сувеличивается. Используя этот факт, в феврале 1987 г. профессор университета г. Хьюстона (Техас, США) Чу и др. синтезировали сверхпроводящую керамику из оксидов бария, иттрия и меди YBa₂Cu₃O_7-xс критической температурой 93К, то есть выше точки кипения жидкого азота. Кристаллические структуры этих соединений подобны, но ионный радиусY меньше, чемLa, что приводит к сокращению всех расстояний в структуре, т.е. к эффекту аналогичному действию внешнего давления. Отличительной особенностью большинства известных ВТСП служит наличие плоскостейCuO₂. Рекорд на данный момент принадлежит структуре HgBa₂Ca₂Cu₃O₈(Hg-1223), проявляющая сверхпроводящие свойства уже при температуре в 135К. Среди материалов, не содержащих медно-кислородных плоскостей, максимальной температурой (Tc=39K) обладает диборид магнияMgB₂.

В 1933 г. был открыт эффект Мейсснера-Оксенфельда: в объеме сверхпроводника магнитное поле равно нулю .

Для понимания свойств сверхпроводников эффект Мейсснера-Оксенфельда даже более важен, чем равенство нулю сопротивления. В первом случае (в магнитном поле) мы имеем дело с термодинамически равновесной системой, в то время, как во втором случае (в электрическом, вызывающем ток) – с неравновесной системой.

Из определения магнитной индукции получим:

Для описания сверхпроводника в магнитном поле можно воспользоваться термодинамическими соотношениями и вычислить работу источника магнитного поля, совершаемую при включении магнитного поля Н. В результате находим, что энергия сверхпроводника в магнитном поле выше, чем в отсутствие поля:

F_S0 – плотность свободной энергии сверхпроводника в нулевом магнитном поле,F_SH - плотность свободной энергии сверхпроводника в ненулевом магнитном поле. При температуре ниже критической в отсутствие магнитного поля энергия сверхпроводящего состояния ниже энергии нормального состояния

При достижении величины магнитного некоторой критической (H_с - критическое магнитное поле) энергии сверхпроводящего и нормального состояний сравниваются.

В точке перехода:

.

Исходя из этого определения критическое магнитное поле обращается в нуль при температуре равной критической. График зависимости критического магнитного поля от температуры имеет вид:

По своему поведению в магнитном поле все сверхпроводники делятся на две группы: сверхпроводники IиIIрода.

Сверхпроводник Iрода в виде длинного прямого стержня в магнитном поле параллельном оси стержня при достижении полем величины критического поля скачком переходит в нормальное состояние. Данное поведение иллюстрирует следующий рисунок:

В образце сложной формы картина не такая простая. Из-за выталкивания магнитного поля из образца вследствие эффекта Мейсснера вблизи участков поверхности с положительной кривизной происходит сгущение силовых линий магнитного поля.

Вблизи таких участков напряженность магнитного поля может оказаться больше критической при том, что напряженность внешнего поля – меньше критической. В результате магнитное поле проникает в сверхпроводник Iрода и он переходит в неоднородное промежуточное состояние, представляющее собой сеть чередующихся областей сверхпроводниковой и нормальной фазы, граница которых всегда параллельна полю. Поле в нормальной фазе всегда равно. Размер и форма сверхпроводящих и нормальных областей определяются размером и формой образца, а также величиной внешнего магнитного поля, т.е носит неуниверсальный характер.

Для тела, которое можно представить как частный случай эллипсоида вращения (шар, стержень, диск) собственное магнитное поле образца на границе связано с намагничением образца соотношением:

Где n– фактор размагничивания и в сверхпроводниках.

Для цилиндра, параллельного полю n=0. Для цилиндра, перпендикулярного полюn=1/2. Для шараn=1/3 и на его экваторе имеем:

Таким образом при - магнитное поле проникает в шарообразный сверхпроводникIи он находится в промежуточном состоянии.

Поведение в магнитном поле сверхпроводников IIрода носит более сложный характер. Как впервые показал А.А.Абрикосов на основе анализа уравнений Гинзбурга-Ландау, при некотором полеH_c1, называемом нижним критическим полем, магнитное поле начинает проникать в сверхпроводящий образец в виде тонких нитей, вокруг оси которых циркулирует сверхпроводящий ток подобно потоку газа или жидкости в вихре.

Структура этих вихрей и их пространственное распределение в виде треугольной решетки носит универсальный характер во всех сверхпроводниках IIрода, а сами вихри получили название абрикосовских вихрей. При дальнейшем увеличении магнитного поля концентрация вихрей плавно увеличивается, пока сверхпроводящая фаза не исчезает полностью при верхнем критическом полеH_с2.

Различие сверхпроводников IиIIрода связано с различными свойствами границы раздела между сверхпроводящей и нормальной фазами в этих сверхпроводниках. В сверхпроводникеIплотность поверхностной энергииσ>0, а в сверхпроводникеIIродаσ<0.

Важную информацию предоставляет температурная зависимость теплоемкости.

С понижением температуры при температуре сверхпроводящего перехода теплоемкость скачком увеличивается, а затем экспоненциально убывает с понижением температуры. Экспоненциальная зависимость от температуры при низких температурах свидетельствует о наличии щели в спектре элементарных возбуждении сверхпроводника.

Семинар 4. Термодинамика сверхпроводников. Теорема Нернста. Энтропия сверхпроводящего состояния. Теплоемкость сверхпроводников. Фазовые переходы I и II рода.

Основываясь на известных экспериментальных фактах о поведении сверхпроводника в магнитном поле и температурной зависимости теплоемкости, рассмотрим термодинамику сверхпроводящего состояния.

Прежде всего запишем известные соотношения для энтропии и теплоемкости:

,

Как мы уже показали:

,

откуда немедленно следует

Данное соотношение позволяет сделать важные выводы:

1. Поскольку экспериментально установлено, что для всех сверхпроводников критическое магнитное поле убывает с ростом температуры и производная критического поля по температуре есть величина отрицательная, то – сверхпроводящее состояние более упорядоченное, чем нормальное

2. Из IIIначала термодинамики (теорема Нернста) следует, что приT=0,S=0 =>

3. При T=T_с,H_с=0 =>, следовательно изменение теплоты при таком фазовом переходе не происходит =>- и фазовый переход в сверхпроводящее состояние - фазовый переходII-го рода

Если же переход в сверхпроводящее состояние происходит при понижении температуры в фиксированном поле 0<H<H_сили при понижении магнитного поля при фиксированной температуреT<T_с, то это фазовый переходI-го рода ().

Для теплоемкости сверхпроводников имеем следующее выражение:

При Т=Т_с,F_n=F_s0,Hс=0 и для скачка теплоемкости (на графике выделен красным цветом) получаем соотношение

,

Известное как формула Рутгерса.

Семинар 5. Электродинамика сверхпроводников. Теория Лондонов (1-е и 2-е уравнения Лондонов). Эффект Мейсснера. Отличие сверхпроводника от идеального проводника. Промежуточное состояние в сверхпроводниках II-го рода. Понятие критического тока в сверхпроводниках.

Первой феноменологической (описывающей макроскопические свойства, но не претендующий на объяснение их микроскопической природы) теорией сверхпроводимости стала двухжидкостная модель братьев Лондонов предложенная ими в 1935 г. В этой модели предполагается, что электронная жидкость в сверхпроводнике при температуре ниже критической состоит из двух компонент – нормальной и сверхпроводящей. Нормальная жидкость подчиняется обычному закону Ома, а сверхпроводящая – протекает по кристаллу без трения и ее движение описывается уравнениями механики для движения во внешнем поле в отсутствие столкновений.

Пусть n– полная концентрация частиц,n_n- концентрация нормальных частиц, n_s- концентрация сверхпроводящих частиц.

При Т=Тс n_s=0,n_n=n,,

При Т=0 n_s=n,n_n=0,

1-e уравнение Лондонов(вытекает изII-го закона Ньютона):

,,

В стационарном состоянии (). Следовательно изIуравнения Лондонов получаем, что электрическое поле в сверхпроводнике равно нулю (). В общем случае (свободная) энергия системы представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий:

Для кинетической энергии с помощью уравнения Максвеллаполучим следующее выражение:

=,

Где введен новый коэффициент размерности длины

.

– это параметр, определяющий глубину проникновения магнитного поля в материал (см. ниже), и его принято называть лондоновской длиной. Выражение для магнитной энергии имеет обычный вид:

.

В результате для полной энергии сверхпроводника получаем следующее выражение:

,

где – это энергия сверхпроводникапри нулевом магнитном поле (H=0).

Распределение магнитного поля должно удовлетворять условию минимума (равенство нулю вариационной производной):

От Hперейдем кH+, получим

При выводе мы учли определение вариационной производной

,

и правила изменения порядка следования векторных производных, следующих из тензорной записи ротора

Из условия равенства нулю вариации энергии при произвольных вариациях магнитного поля следует 2-e уравнение Лондонов

Теперь покажем, что из 2-го уравнения Лондонов вытекает эффект Мейсснера. С помощью известной формулы анализа

и с учетом , получаем следующее уравнение для распределения магнитного поля в образце

,

откуда - магнитное поле затухает в сверхпроводнике на глубине.

Физически, механизм эффекта Мейсснера связан с тем, что вблизи поверхности протекает незатухающий ток (мейcснеровский), который экранирует поле. Ток и поле затухают на расстоянииот края образца.

,.

Идеальный проводник и сверхпроводник.

Как уже упоминалось, нулевое сопротивление и эффект Мейсснера – это два независимых свойства сверхпроводников, которые не сводятся одно к другому, т.е. сверхпроводимость не сводится к идеальной проводимости. Действительно, нетрудно показать, что условия недостаточно для того, чтобы магнитное поле в объеме сверхпроводника равнялось нулю:

,

Если вещество в состоянии с идеальной проводимостью поместить в магнитное поле, то в соответствии с законом Ленца будут возникнут токи, экранирующие это поле. В идеальном проводнике токи не затухают и, на первый взгляд, мы имеем картину, аналогичную эффекту Мейсснера. Однако, если несколько изменить опыт и поместить образец в нормальном состоянии в магнитное поле, а потом, охладив, перевести его в состояние с идеальной проводимостью, то магнитный поток через образец не изменится и токи не наведутся. Более того, если теперь выключить магнитное поле то в силу закона Ленца в идеальном образце наведутся незатухающие токи, которые обеспечат сохранение магнитного потока и магнитного поля в образце, т.е. мы получим картину диаметрально противоположную эффекту Мейсснера – образец, сохраняющий магнитный поток в отсутствие внешнего магнитного поля.

Критический ток в сверхпроводниковой проволоке.

Достаточно сильное магнитное поле переводит сверхпроводник в нормальное состояние. При этом поле может быть создано как внешним током, так и током, протекающим в самом сверхпроводнике. Рассмотрим сверхпроводящую проволоку радиуса а, через которую протекает токI.

Интегрируя уравнение Максвелла по площади сечения проволоки

,

используя теорему Стокса, находим связь полного тока и магнитного поля на поверхности проволоки:

При достижении полем величины критического сверхпроводящая часть проволоки вблизи поверхности переходит в нормальное состояние. Ток, при котором достигается критическое значение магнитного поля на поверхности проволочки называется критическим током.

– критический ток.

Полностью перейти в нормальное состояние проволока не может, поскольку в этом случае ток будет распределен равномерно по сечению и напряженность магнитного поля на раcстоянииb (b<a)от оси проволоки, которая определяется током, текущим внутри сечения радиусаbстанет меньше критической. Таким образом внешняя часть проволоки находится в нормальном состоянии, а внутренняя часть радиусаR– в промежуточном состоянии.

Величина Rопределяется из условия, что на границе области напряженность магнитного поля равна критической

Ток, текущий в центральной части проволоки, меньше критического. Оставшаяся часть тока I_c-I₁протекает в приповерхностной нормальной области. Для поддержания этого тока в нормальной области возникает электрическое поле, направленное по оси проволоки. При этом внутренняя часть проволоки находится именно в промежуточном состоянии (ячеистая структура на рисунке) и не может быть целиком сверхпроводящей, поскольку в противном случае источник напряжения, создающий электрическое поле в нормальной области, окажется замкнут через сверхпроводник.

Криотрон.

Первый электронный прибор, который был предложен на основе сверхпроводимости, - криотрон. Принцип его действия заключается в том, что под влиянием магнитного поля, создаваемого внешним управляющим током, сверхпроводящий элемент (проволочка) может переходить в нормальное состояние. Рассмотрим сверхпроводящую проволоку с навитым на нее соленоидом, через который пропускается управляющий ток I`. Пусть соленоид содержитNвитков. Тогда поле внутри соленоида равно:

Критическая величина поля достигается при значении управляющего тока равном:

Учитывая, что собственный критический ток сверхпроводящей проволоки равен:

получим для коэффициента усиления по току:

Однако при увеличении Nувеличивается индуктивность и, следовательно, увеличивается время переключения. Даже для одновитковой катушки τ>10^-5с. Поэтому более эффективной оказалась конструкция криотрона в виде двух пересекающихся под прямым углом полосков. Для полосковой конструкции

Семинар 6-7. Теория Гинзбурга-Ландау. Понятие параметра порядка и функционал Гинзбурга-Ландау. Физический смысл корреляционной длины. Уравнения Гинзбурга-Ландау. Критическое магнитное поля и лондоновская глубина проникновения в теории Гинзбурга-Ландау. Энергия границы раздела и сверхпроводники I и II рода. Вычисление верхнего критического магнитного поля в теории Гинзбурга-Ландау. Поверхностное критическое магнитное поле. Квантование магнитного потока.

Теория Гинзбурга-Ландау – макроскопическая теория, описывающая макроскопические свойства сверхпроводников. В основе лежит теория фазовых переходов 2-го рода, при которых изменение физических свойств системы происходит непрерывным образом. Ключевое понятие этой теории – понятие параметр порядка, который характеризует изменения симметрии при переходе. Вблизи температуры фазового перехода параметр порядка можно считать малой величиной и разложить свободную энергию в ряд по параметру порядка. Равновесное состояние системы определяется из условия минимума свободной энергии (равенства нулю вариационной производной функционала свободной энергии по параметру порядка). В ферромагнетиках роль параметра порядка играет вектор намагниченности M, в сегнетоэлектриках (ферроэлектриках) – вектор электрической поляризацииP.В.Л Гинзбург и Л.Д. Ландау предложили при описании сверхпроводников в качестве параметра порядка рассматривать– волновую функцию сверхпроводящего конденсата, квадрат модуля которой определяет плотность сверхпроводящего конденсата.

Запишем выражение для функционала свободной энергии сверхпроводника гдеплотность свободной энергии, в виде разложения по степеням параметра порядка и его производной:

Здесь

Выражение для функционала имеет совершенно общий вид и применимо для описания свойств любого сверхпроводника. В этом и заключается эффективность феноменологического подхода. Вся информация о свойствах конкретного материала содержится в конкретных значениях коэффициентов функционала. После создания микроскопической теории сверхпроводимости были предложены процедуры вывода выражений для коэффициентов функционала свободной энергии из микроскопических моделей, содержащих информацию о свойствах конкретных материалов.

Рассмотрим однородную ситуацию, то есть H=0 =>B=0

Условие минимума свободной энергии дает:

Таким образом для выигрыша в свободной энергии системы при переходе в сверхпроводящее состояние находим:

.

Поскольку , то мы можем выразить критическое магнитное поле через параметры функционала Гинзбурга-Ландау.

Пусть теперь . В этом случае минимум свободной энергии следует находить относительно вариации как по параметру порядка, так и по магнитному полю (вектор-потенциалу). Для вариации функционала при вариации параметра порядка имеем:

,

откуда находим условие равновесия (равенство нулю вариационной производной):

Полученное уравнение называется 1-м уравнением Гинзбурга-Ландау:

При изменении порядка интегрирования в выражении для вариации функционала возникает поверхностный интеграл, Условие обращения этого интеграла в нуль приводит к граничному условию:

Индекс nозначает нормальную компоненту к поверхности.

Рассмотрим вариацию по вектор-потенциалу.

Выражение, стоящее в квадратных скобках должно равняться нулю:

С учетом уравнения Максвелла:

получаем 2-е уравнение Гинзбурга-Ландау, которое представляет собой выражение для сверхпроводящего тока:

При практических расчетах удобно переписать в переменных плотности сверхпроводящего конденсата и фазы параметра порядка:

где параметры материала. С учетом того, что пространственным изменением модуля параметра порядка можно часто пренебречь, получим следующее выражение для тока:

Покажем, что из 2-го уравнения Гинзбурга-Ландау следует существование эффекта Мейсснера. Возьмем ротор от обеих частей уравнения:

что с учетом уравнения Максвелла можно переписать как:

Раскрывая двойной ротор по формуле двойного векторного произведения с учетом

получим дифференциальное уравнение для определения пространственного распределения поля в образце:

где мы ввели новый параметр размерности длины

В такой записи уравнение для поля и выражение для параметра λ формально совпадают, соответственно, с полученными ранее в рамках модели Лондонов уравнением, описывающим эффект Мейсснера, и определением лондоновской глубины проникновения магнитного поля. Существенно, однако, что теперь мы можем связать параметр, характеризующий эффект Мейсснера с параметрами материала, информация о которых содержится в значениях коэффициентов функционала Гинзбурга-Ландау:

Корреляционная длина.

Перейдем в 1 уравнении Гинзбурга-Ландау к безразмерным величинам Для этого поделим во всех уравнениях на, где- равновесное значение параметра порядка, которое реализуется в объеме сверхпрводника (т.е. далее подпонимаем):

здесь:

- корреляционная длина параметра порядка

- квант магнитного потока

- лондоновская глубина проникновения

Рассмотрим границу сверхпроводящей и нормальной фаз. Пусть в сверхпроводнике поле равно нулю, а в нормальной фазе оно может быть и отлично от нуля (такой случаю, как показано ниже, соответсвует сверхпроводнику 1 рода). Уравнение для параметра порядка имеет вид:

Для решения, которое в объеме сверхпроводника соответствует равновесному значению Ψ=1, имеем

Параметр определяется из граничного условия, вид которого зависит от деталей структуры границы. Таким образом из полученного решения следует, что физический смысл корреляционной длины – это характерный пространственный масштаб, на котором происходит изменение модуля параметра порядка.

Энергия границы раздела.

Рассмотрим границу сверхпроводящей и нормальной фаз. При этом пусть нормальная фаза образовалась в результате действия магнитного поля. Введем параметр

_{равный отношению лондоновской глубины проникновения к корреляционной длине. Покажем, что величина этого параметра определяет знак поверхностной энергии границы сверхпроводящей и нормальной фаз и тип сверхпроводника. Знак поверхностной энергии определяется балансом энергии сверхпроводящей конденсации и магнитной энергии. При} увеличении корреляционной длиныувеличивается размер области, в которой значение параметра порядка меньше равновесного, а следовательноуменьшается выигрышв энергии сверхпроводящей конденсации, т.е.увеличение корреляционной длины в целом ведет к проигрышу в энергии границы раздела фаз. Приувеличении лондоновской глубины проникновенияувеличивается размер области проникновения магнитного поля, а следовательноуменьшается проигрышв энергии магнитного поля, связанный с эффектом Мейсснера,т.е. увеличение лондоновской глубины проникновения в целом ведет к выигрышу в энергии границы раздела.Таким образом в случаеповерхностная энергия будет положительной, поскольку доминирует проигрыш в энергии, связанный с большой корреляционной длиной. Такой сверхпроводник будет сверхпроводником 1 рода. В случае_{, наоборот, энергия границы раздела будет отрицательной, так доминирует выигрыш в энергии, связанный с большой глубиной проникновения, и такой сверхпроводник – сверхпроводник 2 рода.}

Вычисление в теории Гинзбурга-Ландау.

Рассмотрим сверхпроводник в сильном магнитном со значением близким к H_c2. ВблизиH_c2 параметр порядка можно считать малым и в 1 уравнении Гинзбурга-Ландау пренебречь кубическим членом. Вернемся к ненормированным величинам. Пренебрегая кубическими членами близи перехода запишем уравнение Гинзбурга-Ландау:

нетрудно заметить, что в таком виде уравнение Гинзбурга-Ландау похоже на уравнение Шредингера для свободного электрона в магнитном поле:

которое, в свою очередь, сводится к уравнению Шредингера для квантового осциллятора с хорошо известным из стандартного курса квантовой механики решением:

Уравнение Гинзбурга-Ландау переходит в уравнение Шредингера для электрона в магнитном поле при следующей замене:

При фиксированном H, чем больше по абсолютной величине параметр, тем «сильнее» сверхпроводимость (тем больше амплитуда параметра порядка). Минимальное значение модуля α при котором еще возможно существование сверхпроводимости, т.е. еще возможно существование ненулевого решения линеаризованного уравнения Гинзбурга-Ландау для параметра порядка, соответствует минимальному значению энергии магнитного осциллятора. При _{фиксированном α сверхпроводимость (ненулевое решение уравнения Гинзбурга-Ландау) может существовать, только если минимальная энергия магнитного осциллятора меньше модуля α. Равенство этих величин определяет верхнее критическое поле Hc2}

_{Теперь у нас имеются выражения через параметры функционала Гинзбурга-Ландау как для критического поля Hc , так и для верхнего критического поля Hc2. Из графика зависимости наведенного магнитного момента сверхпроводника от внешнего магнитного поля следует, что}

Для отношения критического и верхнего критического магнитного полей имеем:

таким образом существует четкая граница, разделяющая сверхпроводники различного типа:

- сверхпроводник II-го рода

- сверхпроводник I-го рода

Выше мы рассматривали формально бесконечный образец, в котором поле зарождение сверхпроводимости при понижении магнитного поля ниже H_c2 происходит в объеме образца. Можно показать, что в сверхпроводникеIIрода конечных размеров, помещенном в сильное магнитное поле, зарождение сверхпроводимости происходит вблизи поверхности образца и происходит это при полеH_c3, превышающем полеH_c2. Наличие поверхности требует задания граничного условия при решении дифференциального уравнения Гинзбурга-Ландау и соответствующего ему уравнения для магнитного осциллятора. При этом минимальное значение энергии магнитного осциллятора при фиксированной температуре (фиксированном α) определяет максимальное магнитное поле, при котором возможно существование сверхпроводимости. Таким образом, чем меньше минимальное значение энергии магнитного осциллятора, тем больше критическое значение магнитного поля:

Граничное условие для сверхпроводящего параметра порядка вблизи границы с воздухом имеет вид: . Решение соответствующего уравнения для магнитного осциллятора можно получить, воспользовавшись аналогом метода изображений в электростатике. Потенциальная энергия осциллятора как функция координаты имеет вид параболы, которая с одной стороны ограничивается поверхностью. Рассмотрим вспомогательную задачу о решении уравнения Шредингера в бесконечной системе с потенциалом, представляющим собой параболу, симметрично отраженную относительно поверхности. Поверхность в такой задаче играет роль плоскости симметрии. В силу симметрии потенциала решение уравнения Шредингера, отвечающее минимальному собственному значению, будет симметрично относительно поверхности, и, следовательно, будет удовлетворять на поверхности условию. Ясно, что при такой модификации потенциала его эффективная величина понижается. Поэтому следует ожидать уменьшения минимальной энергии магнитного осциллятора вблизи поверхности. Численный расчет дает для минимальной энергии магнитного осциллятора:

Соответственно магнитное поле. При котором происходит зарождение зародышей сверхпроводящей фазы вблизи поверхности

оказывается выше верхнего критического поля Hc2

Квантование магнитного потока.

Запишем уравнение Гинзбурга-Ландау для тока в переменных плотность-фаза:

Рассмотрим сверхпроводник с полостью (неодносвязанный). В полости имеется магнитное поле B. Мысленно проведем контур С на расстоянии от полости много большем лондоновской глубины проникновения магнитного поля. Поле в полости экранируется в объеме сверхпроводника на глубине => на контуреСj=0.

Проинтегрируем выражения для тока по замкнутому контуру С

С учетом однозначности волновой функции

Откуда находим для величины магнитного потока, пронизывающего полость:

Таким образом поток через замкнутую полость, ограниченную сверхпроводником квантуется в единицах величины кванта потока . Эффект квантования магнитного потока чрезвычайно важен как для фундаментального понимания природы сверхпроводимости, так и для разнообразных практических приложений. Именно измерения величины кванта потока экспериментально доказало существование в сверхпроводнике куперовских пар с зарядом2e.

Структура смешанного состояния сверхпроводников II-го рода.

В сверхпроводниках II-го рода образование границ сверхпроводника и нормального состояния – выгодно, так как, однако дробление нормальной области сограничивает условие квантования магнитного потока. Таким образом, магнитное поле проникает в сверхпроводникиII-го рода в виде вихрей (вихрей Абрикосова), представляющих из себя сердцевину, вокруг которой циркулируют сверхпроводящие токи, экранирующие магнитное поле центра вихря в объеме сверхпроводника. Полный поток магнитного поля, связанный с вихрем, равен одному кванту потока.

Можно показать, что вихри отталкиваются друг от друга, т.е. их энергия взаимодействия положительна и они стремятся расположиться как можно дальше друг от друга (физически это, фактически, следует из закона Бернулли: в пространстве между вихрями соответствующие им скорости потока вычитаются, и следовательно, давление увеличивается). Максимальному расстоянию между вихрями при их фиксированной концентрации отвечает их расположение в узлах треугольной решетки.

Семинар 8-9. Эффект Джозефсона и его применения. Стационарный эффект Джозефсона. Нестационарный эффект Джозефсона. СКВИДы и их использование для магнитных измерений. Влияние магнитного поля на джозефсоновский переход. ВАХ джозефсоновского перехода. Уравнение для фазы с учетом диссипации и механическая аналогия. Физическая природа гистерезиса ВАХ. Нестационарный эффект Джозефсона. Макроскопические квантовые эффекты в джозефсоновских переходах.

Пусть имеется два сверхпроводника, разделенные тонкой, туннельно-прозрачной пленкой диэлектрика.

Согласно второму уравнению Гинзбурга-Ландау в объеме сверхпроводника , т. е. ток связан с изменением фазы параметра порядка. Поэтому можно ожидать, что и в туннельном контакте двух сверхпроводников, в случае возникновения скачка фазы должен будет возникнуть ток, равный нулю в отсутствие скачка фазы:

Вид граничных условий к уравнению Гинзбурга-Ландау для сверхпроводников, находящихся в туннельном контакте, можно установить из следующих общих рассуждений. Мысленно разрежем туннельный контакт и разнесем сверхпроводники друг от друга. На образовавшейся поверхности граничные условия будут иметь стандартный для свободной поверхности вид:

При восстановлении контакта вид граничного условия в рассматриваемом сверхпроводнике должен измениться таким образом, чтобы учесть присутствие другого сверхпроводника. Это влияние можно описать, добавив в правую часть граничного условия функцию f(Ψ_i)=ηΨ_i, линейно зависящую от параметра порядка соседнего сверхпроводника (свободной поверхности отвечает равенство нулю этого параметра порядка и функцииf):

С учетом полученных граничных условий градиентные члены в выражении для сверхпроводящего тока (2-м уравнении Гинзбурга-Ландау) преобразуются следующим образом

Считая параметр η действительным получим следующее выражение для сверхпроводящего тока

Которое можно переписать в стандартном виде, описывающим стационарный эффект Джозефсона:

,

где - максимальное значение амплитуды тока, который может протекать через туннельный контакт двух сверхпроводников в отсутствие приложенного напряжения. Необычность ситуации связана с тем, что бездиссипативный ток протекает через структуру, содержащую несверхпроводящую туннельную прослойку. Туннельный контакт двух сверхпроводников иначе называют джозефсоновским контактом.

Нестационарный эффект Джозефсона

Рассмотрим ситуацию, когда на переходе имеется разность потенциалов.

Уравнение, связывающее фазу и напряжение можно получить из условий калибровочной инвариантности. Калибровочная инвариантность означает инвариантность физически наблюдаемых величин при калибровочном преобразовании

Наша цель будет заключаться в том, чтобы найти такое соотношение, связывающее фазу и напряжение, которое оставалось бы инвариантным при таком преобразовании. Калибровочное преобразование очевидным образом оставляет инвариантным магнитное поле

и уравнение Максвелла

где напряженность электрического поля определяется через вектор-потенциал и скалярный (электрический) потенциал

Из требования инвариантности напряженности электрического поля следует правило калибровочного преобразования электрического потенциала

Таким образом для напряжения (разности потенциалов) получаем следующую формулу преобразования:

Как следует из 1-го уравнения Гинзбурга-Ландау фаза параметра порядка θ меняется следующим образом:

что оставляет инвариантным градиентный член в уравнении Гинзбурга-Ландау

В результате для разности фаз на джозефсоновском переходе получаем следующее выражение:

Сопоставив это выражение с выражением для напряжения, получим следующее соотношение связывающее разность фаз и напряжение на джозефсоновском переходе:

или

Данное выражение уже остается инвариантным при калибровочном преобразовании.

Пусть к туннельному переходу приложено постоянное напряжения. Из полученного соотношения находим следующее выражение для разности фаз

Подставив его в формулу для джозефсоновского тока, получим следующее выражение, описывающее нестационарный эффект Джозефсона

Суть нестационарного эффекта Джозефсона в том, что в туннельном контакте двух сверхпроводников, к которому приложено напряжение V, возможны электромагнитные колебания с частотой

Физическая природа джозефсоновских колебаний становится более понятной, если учесть, что в сверхпроводящем состоянии электроны образуют пары (куперовские пары) с зарядом 2е. При переходе через туннельный контакт, к которому приложено напряжениеV,куперовская пара приобретает дополнительную энергию2eV, которая выделяется в виде кванта электромагнитного излучения с энергией.

Эффект Джозефсона представляет собой яркое физическое явление, имеющее важное фундаментальное и прикладное значение. За его предсказание английскому физику Б.Джозефсону в 1973 г. была присуждена Нобелевская премия. Заметим, что для существования эффектов Джозефсона необязательно наличие туннельной прослойки. Эффект сохраняется в более широком классе контактов, характеризующихся наличием «слабой связи» - небольшой области, в которой сверхпроводимость подавлена, например, микросужения.