Волоконные световые волноводы

Оптические волокна характеризуются своей структурой и характером распространения света вдоль их оптической оси. В основном, оптические волокна классифицируются двумя типами. Первый тип – одномодовые волокна, второй тип – многомодовые волокна. В этих определениях явно подчеркивается, что волокна могут поддерживать распространение света либо одной выделенной моды, либо многих мод одновременно. Основное различие между ними состоит в поперечном размере сердцевины. При этом и одномодовые и многомодовые волокна изготовливаются из одного материала в одном и том же процессе (рис.17).

рис.17. Различные типы оптических волокон.

Волновые уравнения

Оптоволокно обладает цилиндрической симметрией, поэтому любая точка внутри волокна определяется тремя координатами: r – радиусом, относительно выделенной нулевой точки на оптической оси, углом φ между оптической осью и радиусом-вектором r, и координатой z, являющейся проекцией рассматриваемой точки на оптическую ось.

Волновое уравнение (без учета гармонической составляющей с круговой частотой ω) для рассматриваемых векторов светового поля, например, электрического вектора E имеет вид:

, (63)

где k²=k₀²n², k₀=2π/λ₀ – волновое число в вакууме, λ₀ – длина световой волны в вакууме.

Рассмотрим световые волны, распространяющиеся вдоль оптической оси. В этом случае они должны иметь следующее функциональное представление:

, (64)

, (65)

где параметр β – константа распространения, определяемая из граничных условий световых полей на границе сердцевина волокна – оболочка. Обращаясь к системе уравнений Максвелла, можно записать следующие соотношения для компонент электрического и магнитного векторов светового поля в цилиндрических координатах:

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)

. (71)

Преобразовывая эти уравнения, можно выразить поперечные компоненты поля E_r, E_φ, H_r и H_φ через продольные компоненты E_z и H_z:

(72)

(73)

(74)

, (75)

где q²=ω²μ₀²(ε ε₀)²-β²=k²-β².

Подставляя (74) и (75) в (71), получаем:

(76)

(77)

Заметим, что (76) и правые части (72)-(75) содержат только E_z или H_z компоненты поля. Это подразумевает, что продольные компоненты E и H несвязанны между собой и могут выбираться произвольно, при условии, что (76)-(77) и (72)-(74) удовлетворяются одновременно. Если граничные условия не ведут к связыванию между компонентами поля, то или E_z=0, или H_z=0. Когда E_z=0, то такие моды называются поперечными электрическими, или TE-модами, когда H_z=0, то они называются поперечными магнитными, или TM-модами. В принципе, могут существовать и гибридные моды, если граничные условия это позволяют. Гибридные моды существуют тогда, когда H_z и E_z имеют ненулевые значения. В зависимости от того, какая компонента поля превалирует в этом случае, имеются поперечные TEM или THM гибридные моды распространения света в оптоволокне.

Ступенчатый профиль показателя преломления

Стандартная процедура разделения переменных состоит в представлении возможных решений, например, для E_z компонент, в виде:

, (78)

где A – постоянный множитель.

Так же как и в случае прямоугольных волноводов предположим, что зависимость от координаты z имеет вид

, (79)

где β – постоянная распространения световой волны вдоль направления оптической оси.

Также, вследствие симметрии конструкции волновода, каждая компонента поля не должна меняться при изменении угла φ на 2π, поэтому

. (80)

В уравнении (79), постоянная величина ν может принимать только целочисленные значения: ν=0, ±1, ±2, …, т.к. поле должно быть периодическим при изменении φ с периодом 2π.

Подставляя (79) и (80) в (77), получаем:

. (81)

Это хорошо известное выражение, решениями которого являются функции Бесселя. Точно такое же уравнение имеет место и для H_z. Рассмотрим однородный сердечник волокна с показателем преломления равным n₁ с радиусом a, окруженным оболочкой с радиусом, существенно превышающим размер сердечника с показателем преломления n₂. В этом случае характер распространения световых волн не зависит от радиуса оболочки по причине быстрого затухания световых волн в этой среде. Кроме того, реальные световые волокна имеют радиус оболочки значительно больший, чем радиус сердцевины.

Вначале надо определить, какие из функций Бесселя являются подходящими в этом случае. Если q – действительное число, то решениями уравнения (81) являются либо

- функция Бесселя первого рода, или

- функция Бесселя второго рода.

Число ν, которое может принимать только целочисленные значения, называется порядком функции, а qr – аргументом функции. Графики функций J_ν(qr) и Y_ν(qr) для нескольких первых значений ν приведены на рис.18, 19.

рис.18. График функций Бесселя первого рода для действительного значения q при значениях ν=0, 1, 2.

рис.19. График функций Бесселя второго рода для действительного значения q при значениях ν=0, 1, 2.

Можно видеть, что за исключением J₀ все остальные функции Бесселя первого рода стремятся к нулю при стремлении к нулю аргумента функций. При этом только J₀ стремиться к единичному значению. С другой стороны, функции Бесселя Y_ν расходятся при стремлении аргумента к нулю, поэтому они должны быть исключены из решения задачи. Функции первого рода монотонно уменьшаются при стремлении аргумента к бесконечности, поэтому правильная комбинация этих функций является решением для распределения светового поля внутри сердечника оптоволокна.

Решениями уравнения Бесселя, которые появляются при решении внешней краевой задачи (оболочка оптоволокна)

, (82)

являются модифицированные функции Бесселя I_ν(qr) и K_ν(qr) первого и второго рода. Графики этих функций показаны на рис.20, 21.

рис.20. Модифицированные функции Бесселя первого рода I_ν(qr) для действительного значения q при значениях ν=0, 1, 2.

рис.21. Модифицированные функции Бесселя второго рода K_ν(qr) для действительного значения q при значениях ν=0, 1, 2.

Из рассмотрения графиков 20 и 21 следует, что I_ν(qr) неограниченно возрастает при стремлении аргумента к бесконечности. С другой стороны, функция K_ν(qr) быстро стремится к нулю при увеличении аргумента. Т.к. мы ищем ограниченное решение внешней краевой задачи для оболочки, то единственными подходящими функциями в этом случае являются модифицированные функции Бесселя второго рода K_ν(qr).

Т.о., для r<a решениями задачи распространения света по оптоволокну являются функции Бесселя первого рода J_ν(ur) порядка ν. При этом u²=k₁²-β², где k₁=2πn₁/λ, λ – длина световой волны в вакууме. Выражения для E_z и H_z внутри сердцевины волновода (r<a) имеет вид:

(83)

. (84)

Вне сердцевины, т.е. в области оболочки решениями будут модифицированные функции Бесселя второго рода, K_ν(wa), где w²=β²-k₂², k₂=2πn₂/λ:

(85)

, (86)

где A, B, C, D – произвольные постоянные, определяющиеся из граничных условий.

Для световых мод, распространяющихся по оптоволокну, константы распространения мод удовлетворяют условию β₂<β<β₁ вне и внутри сердцевины волокна. Если n₂k≤β≤n₁k, то распространение светового поля внутри сердцевины имеет осциллирующий характер и энергия поля быстро уменьшается по мере проникновения в оболочку волокна. В этом случае световая энергия поля сосредоточена в основном в сердцевине и распространяется без потерь вдоль оптоволокна.