16. Квазиклассическое приближение в статистической физике

Мы говорили, что состояние квантово-механической системы описывается каноническим распределением:

, где- номер состояния

Потом учли, что энергетические уровни близко расположены друг к другу и ввели вместо дискретного спектра – непрерывный:

Ввели функцию

В нормировке функции перешли к интегралу:

- это число состояний в интервале энергий

Здесь - плотность состояний с энергиейна единичный интервал энергии.

Мы вместо часто пользуемся функцией:

, где

Функция - размерная. Величинаимеет размерность, тогда объёмчикимеет размерность. Значит, функцияимеет размерность

Поэтому удобно ввести величину:

,- число степеней свободы системы

Тогда:

(здесь уже безразмерные величины)

При имеем квазиклассическое приближение. В этом случаехарактеризует величину числа состояний в интервале.

Как же посчитать число состояний при переходе из фазового пространства в квазиклассическое представление?

В квантовой механике:

т.е. это точность, с которой определяется фазовая точка в фазовом пространстве.

Но фазовая точка определяет состояние, тогда это точность, с которой определяется состояние:

- это площадка, описывающая состояние.

-точнее этого мы состояние не определим.

Более точные измерения дают:

- такая площадка выделяется на фазовую точку (в случае, когда - одна степень свободы).

- это объём, приходящийся на одно состояние в квазиклассическом приближении, пристепенях свободы.

Тогда:

где - элементарный объём фазового пространства, а- объём на одно состояние, следовательно- число состояний.

Тогда в квазиклассическом приближении каноническое распределение выглядит так:

Множитель возникает по следующим причинам:

В квантовом случае - суммирование по числу состояний, и мы учитывали нетождественные перестановки. Но интегрирование по фазовому пространству не чувствительно к тождественным перестановкам – не выбрасываем их, поэтому возник множитель- учитывающий тождественные перестановки. Это имеет место при переходе в квазиклассическое приближение.

Замечание:

Принцип тождественности оказывает влияние только на расчёт статистического интеграла , при расчёте средних он не влияет.

Каноническое распределение для квантовых систем имеет вид:

- суммирование по квантовым состояниям

При переходе в квазиклассику, используя переход , получаем для вероятности состояния(здесь индекс не проставлен):

где и,

- это вероятность того, что фазовая точка с координатамипопадает в элементарный объёмв фазовом пространстве.

Мы писали:

под понимаем

Очевидно, что константу можно выкинуть, если рассчитывать средние через вероятность, при переходах:

т.к. константа не влияет на расчёт средних.

Часто рассматривают случай, когда квазиклассичность имеет место не по всем степеням свободы, а лишь по некоторым. Тогда суммируем по квантовым степеням свободы и интегрируем по квазиклассическим степеням свободы, т.е. имеем «гибрид»:

и в этом случае имеется и статистическая сумма и статистический интеграл.

17. Использование распределения Максвелла для расчёта средних:,,,

- кинетическая энергия

Посмотрим .

Если рассмотрим , то получим:

Запишем выражение для :

Подставим в наше выражение, тогда получим:

Тогда мы можем записать:

,

Тогда:

Аналогичные результаты имеем для и, тогда:

Легко найти :

здесь - температура в энергетических единицах.

При расчёте в произвольной степени, имеет место другая схема расчёта, а именно:

, где

При нечётном надо учитывать симметричность, т.е.- получается чётная функция. В этом сложность расчёта. Поэтому для расчёта переходят в сферические координаты:

Тогда:

Сделаем замену переменных:

,,

Тогда получим:

Используем гамма функцию :

Из свойств гамма функции замечаем такие соотношения: