14. Статистическое описание систем с большим числом степеней свободы

Статистическая физика изучает системы с большим числом степеней свободы. Наличие большого число степеней свободы вносит некоторые особенности в описание таких систем. Например, в воздуха содержитсячастиц (число Лошмидта), но у каждой материальной точки (частицы) имеется 3 степени свободы, поэтому у этой системы огромное число степеней свободы.

В классической механике возможно описывать такие системы (через формализм Гамильтона) - динамических переменных, где- число степеней свободы. Описание системы сводится к решению уравнений:

Чтобы решить данную систему, необходимо задать начальных условий. Задаем начальные условия и решаем систему. Но здесь сложные технические трудности (долгий счёт на ЭВМ). Но имеются ещё и качественные особенности этих систем, которые не охватываются этими уравнениями, т.е. детерминированный подход здесь не используют.

Статистическая физика рассматривает переход от малого числа степеней свободы к большому. и- это динамические переменные. Фазовое пространство – этомерное пространство, декартовыми осями которого являются переменныеи. Тогда состояние системы (которое задаётся динамическими переменными) в фазовом пространстве задаётся фазовой точкой. Движение системы в реальном пространстве задаётся движением фазовой точки в фазовом пространстве, т.е. устанавливается соответствие между фазовым и реальным пространствами.

.

14. Два способа усреднения в статистической физике. Понятие ансамбля систем

Будем иметь дело со стационарными процессами.

Рассмотрим случайную величину , гдеиэто динамические переменные (ихштук). Но можно рассматривать и случайную величину, где- время (это одна переменная).

Усреднение по времени производим так:

(**)

Если - случайная величина, то её усреднение соответствует усреднению по фазовой траектории в фазовом пространстве.

Зависимость координат от времени в фазовом пространстве определяется фазовой траекторией.

Усреднение по времени имеет основой эксперимент, т.к. экспериментатор наблюдает случайную величину во времени.

Назовём временем релаксации. Если, то предел (**) хорошо согласуется с практикой. И тогда принимают.

Усреднение по времени, однако не удобно в теории, это усреднение по одной реализации.

Другое усреднение – статистическое. Оно основано на усреднении случайной величины как функциии.

Каждой точке фазового пространства ставится в соответствие величина ( как функцияи). Потом вводится вероятность попадания этой точки в элементарный объём фазового пространства:

здесь - элементарный объём фазового пространства.

Говорят, что - это функция распределения, определяющая плотность вероятности попадания точки в элементарный объём.

И вводится понятие статистического среднего, или среднего по ансамблю:

Имеем совокупность макроскопических идентичных систем, именуемых ансамблями. Можем говорить, что конкретная точка фазового пространства соответствует конкретному состоянию одной из систем этого ансамбля.

У систем может быть различное динамическое состояние, так как точки перемещаются в пространстве. Хотя число точек, поля и т.п. у систем будут одинаковыми. Это и будет ансамблем, если таких систем будет неограниченно много.

Часто, т.к. рассматриваются стационарные процессы, то фазовая траектория очень длинная (бесконечная), тогда говорят, что фазовую траекторию, при рассмотрении предела , можно разбить на достаточно длинные траектории, которым можно приписать системы из ансамбля.