19.Достаточные условия локального экстремума.

Т.Пусть ф-ция z=f(x,y) диф-ма в т. () и имеет вторые производные в этой точке,т.-стационарная.ОбозначимТогда

1)если ,то в т.-лок.экстремум. При этом -лок.max,-лок.min

2)если ,то в т.лок.экстремума нет.

3)если D=0,то требуется доп.исследования.

Док-во:Разложим f(x,y)по формуле Тейлора в окр-ти т.M₀:

Т.к. -стац. Точка,первый диф-ал=0

Остается

квадратичная форма от

Если -положит.определена (по критерию Сильвестра)

в т. -лок.min

Еслиотриц.определенав т.-лок.max

№20.Понятие неявной ф-ции.Теорема существования и непрерывности неявной ф-ции.Дифференцирование неявной ф-ции.Диф-ие неявной ф-ции нескольких переменных.

Опр.Неявная ф-ция y=f(x)-это решение ур-ия F(x,y)=0 относительно y,т.е.

Т.(существование и непрерывность неявной ф-ции)

Пусть выполн. усл.:

1)F(x,y) непр. в прямоуг. Q={(x,y)|a<x<b,cyd}

2)(т.е. на нижних и верхних сторонах прямоугольникаQ ф-ция имеет знач. разных знаков)

3) явл. строго монотонной ф-цией относит.y на [c,d].Тогда на (a,b) ! неяв. ф-цияy=f(x),определяемая ур-ем (*) и эта ф-ция непр. на (a,b) .

Т.(диф-ть неяв. ф-ции)

Пусть:1)F(x,y)диф-ма в некоторой окр. точки ,

2)непр. в т.

3)

Тогда сущ.прямоугольник ,в к-ом ур-иеF(x,y)=0 определяет единственную неявную ф-цию y=f(x),где и произв. Неявной ф-ции ищется по формуле:

Замечание. При вычислении сначала берется частная производная поx,а затем вместо y подставляется ф-ция f(x).Следствие:Если ф-ция F(x,y) диф-ма n раз в окр.т. ,то и неяв.ф-цияy=f(x)диф-ма n раз в окр-ти т. .

Теорема.(диф-ть неяв. ф-ции нескольких переменных) Пусть:1)диф-ма в нек. точке

2)непр. в;

3)

Тогда в окр.т. ур-иеопр-ет единств. неяв. ф-цию,причемнеяв.ф-ция диф-ма в окр. т.и ее частные производ. Вычисл по формулам:

для всех i=1,2,…m.

№21. Неявные функции, определяемые системой уравнений.

Рассм: Решение:

называется совокупностью неявных функций, определяемых системой уравнений.

Определитель

,

сост частных произв назыв определителем Якоби, или якобианом ф-ий ,, …,по переменным,, …,и обознач.

Теорема(диф-ть неяв ф-й заданных сист ур-й). Пусть

1. функции ,, …,из (**) дифф-емы вU;

2. частные производные непрерывны в точке;

3. ,,…,,.

Тогда определена единственная совокупность неяв ф-ий, дифф-емых в U и частные производные неявных ф-ий находятся по след системе:

Из этой системы однозначно опред частные произв для ,(Она определена и сущ единств реш-е.)

№22. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной явными и неявными функциями.

Касательной плоскостью к пов-ти в т М назыв плоскость, в которой лежат все касательные в т М к различным кривым, проведённым на пов-ти через эту точку.

Нормалью к пов-ти назыв перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания.

Если ур-е пов-ти в декартовой системе координат задано в явной форме z=f(x,y), где f(x,y) – дифференцируемая ф-я, то уравнение касательной плоскости в точке поверхности М₀(x₀,y₀,z₀) есть.

Z-z₀=f’_x(x₀,y₀)(X-x₀)+f’_y(x₀,y₀)(Y-y₀)+f’_y(x₀,y₀)(Y-y₀). Здесь z₀=f₀(x₀,y₀), а X,Y,Z – текущие коорд точки касательной плоскости.

Уравнения нормали имеют вид:

(X-x₀)/f’_x(x₀,y₀)=(Y-y₀)/f’_y(x₀,y₀)=(Z-z₀)/-1

где X,Y,Z – текущие координаты точки нормали.

Если ур-е пов-ти задано в неявной форме F(x,y,z)=0 и F(x₀,y₀,z₀)=0, соотв ур-я будут иметь такой вид:

F’_x(x₀,y₀,z₀) (X-x₀)+ F’_y(x₀,y₀,z₀) (Y-y₀)+ F’_z(x₀,y₀,z₀) (Z-z₀)=0 – ур-е касательной плоскости

(X-x₀)/F’_x(x₀,y₀,z₀)=(Y-y₀)/F’_y(x₀,y₀,z₀)=(Z-z₀)/ F’_z(x₀,y₀,z₀) – ур-е нормали.

Пример: ур-е касательной и нормали к пов-ти z=x²/2-y² в т. М(2;-1;1)

Найдём част произв и их знач в т. М: (dz/dx)_M=2, (dz/dy)_M=2. Подставить в 1 и 2 формулы и имеем 2x+2y-z-1=0 (ур-е кас плоскости) и (x-2)/2=(y+1)/2=(z-1)/-1 (ур-е нормали).

№23.Понятие кратного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Свойства.

Опр. Кратным интегралом от функции f на множестве D называется предел интегральной суммы, когда максимальный диаметр разбиения  0.

Двойной интеграл от f(x;y) на :

Геометрический смысл двойного интеграла:

Это объем тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z=f(x,y), а снизу плоскостью z=0.

Свойства кратных интегралов:

1. , (Площадь)(Объем)

2. , где A,B=const.

3. - мн-во меньшей размерности

4. на D =>

5. 

6. , M=const

7. Теорема о среднем значении: Пусть непрерывна на замкнутом мн-веD. Тогда ;.

№24. Вычисление кратного интеграла путем сведения к повторным.

Сведение кратного интеграла к повторным.

Теорема:

Пустьf(x,y) заданна и непрерывна на прямоугольнике

Тогда непрерывна на [a;b]

Доказательство:

; , при |h|<;

Тогда .

Теорема:

Пусть f(x,y) определена и непрерывна на прямоугольнике

Тогда

№25. Замена переменных в кратном интеграле.

Пусть x=(u,v), y=(u,v). Функции  и  имеют непрерывные производные в замкнутой ограниченной области D

I(u,v)= ≠0

Тогда

D→D’ (выраж. В переменных u,v)

Пусть x=(u,v,w), y=(u,v,w), z=(u,v,w)

Тогда: №26. Несобственные кратные интегралы

1) Интеграл по бесконечной области

Пусть f(x,y), непрер. в бесконечной области D:

, где D’ – конечная область, лежащая в D, которая расширяется произвольным образом.

Если существует конечный предел, независ. От выбора области D’ и способа расширения, то несобственный интеграл называется сходящимся.

2) Интеграл от разрывной функции

Пусть f(x,y) непрер. В ограниченной замкн. D всюду, за исключением P₀(x₀, y₀)

Если существует конечный предел , где D_ - область D с вырезанной -окрестностью т. P₀, то этот предел называется несобственным интегралом от f(x,y) по области D

Интеграл Пуассона

Переход к полярным координатам