Токи дрейфа и диффузии носителей заряда. Соотношение Эйнштейна

Рассмотрим неравновесные явления, возникающие в полупроводнике при протекании электрического тока.

В неоднородном полупроводнике концентрации электронов и дырокизменяются от точки к точке. Поэтому в нем должен возникнуть диффузионный ток электронов и дырок, который будет определяться диффузией носителей заряда из областей с высокой концентрацией в области с меньшей концентрацией.

Рассмотрим одномерный случай. Пусть в полупроводнике концентрация носителей заряда возрастает в направлении оси х. Потоки электронов I_n (или дырок I_p) текут в сторону уменьшения концентраций носителей заряда. Поток электронов или дырок, возникающий вследствие их диффузии, пропорционален градиенту концентрации электронов.

,	(4-1)
,	(4-2)

где D_n – коэффициент диффузии электронов, D_p - коэффициент диффузии дырок.

Диффузионным потокам носителей заряда соответствуют плотности диффузионных токов электронов J_nDif и дырок J_pDif.

,	(5-1)
,	(5-2)

В трехмерном случае плотности диффузионных токов электронов и дырок записываются в векторной форме.

,	(6-1)
,	(6-2)

Диффузионный ток, возникший из-за наличия градиента концентрации носителей заряда, приведет к пространственному разделению зарядов, которое вызовет появление статического электрического поля с напряженностью E₀. Это поле создаст дрейфовые токи электронов и дырок. При термодинамическом равновесии в каждой точке полупроводника дрейфовый ток будет уравновешивать диффузионный ток, поэтому суммарный ток будет равен нулю.

Если неоднородный полупроводник находится во внешнем постоянном электрическом поле напряженностью , то под действием этого поля электроны и дырки начнут дрейфовать. В результате этого появятся электронные и дырочные токи проводимости. Если внешнее электрическое поле слабое и не изменяет характера движения носителей заряда, то дрейфовые составляющие плотности тока запишутся на основании закона Ома в следующем виде.

,	(7-1)
	(7-2)

Полная плотность тока будет равна сумме плотностей диффузионного и дрейфового токов. Для электронов и дырок в одномерном случае она будет равна:

,	(8-1)
	(8-2)

Таким образом, полная плотность тока J в любой точке неоднородного полупроводника в любой момент времени будет определяться уравнением

.

(9)

Диффузионный ток существенен только в полупроводниках, так как в них концентрации электронов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной суммарной концентрации носителей заряда. В металлах же концентрация электронов практически постоянна.

В неоднородном полупроводнике при термодинамическом равновесии полный ток равен нулю, так как токи проводимости уравновешивают диффузионные токи. Для электронов на основании формулы (8-1) можно записать:

.

(10)

Поскольку в полупроводнике имеется статическое электрическое поле E₀, то электроны, находящиеся в этом поле, будут обладать потенциальной энергией W=-eφ, где φ – электростатический потенциал. Поэтому при отсутствии вырождения концентрация электронов в зоне проводимости будет удовлетворять соотношению Больцмана.

,

(11)

где - равновесная концентрация электронов.

Учитывая, что , и подставляя значения п и в уравнение (10), получим:

.

(12)

После простого преобразования получим следующее выражение для электронов.

.

(13)

Аналогично можно получить подобное выражение для дырок.

.

(14)

Формулы (13) и (14), связывающее коэффициент диффузии носителей заряда, подчиняющихся статистике Максвелла-Больцмана, с их дрейфовой подвижностью в условиях термодинамического равновесия, носят название соотношения Эйнштейна.

Неравновесные носители заряда, обмениваясь энергией с решеткой, приходят в тепловое равновесие с ней за время, намного меньшее их времени жизни. Поэтому их распределение по энергиям при отсутствии вырождения не отличается от распределения равновесных носителей заряда, и можно считать, что соотношение Эйнштейна применимо и к неравновесным носителям. Это подтверждено экспериментальными данными.